Теория: Диагонали (короткая версия)

Из каждой вершины выпуклого многоугольника можно провести \(\displaystyle n-3\) диагонали.

Из всех \(\displaystyle n\) вершин можно провести \(\displaystyle n(n-3)\) диагоналей, но при таком подсчете каждая диагональ учитывается дважды, то есть мы нашли удвоенное число диагоналей \(\displaystyle n\)–угольника. Следовательно, число диагоналей выпуклого \(\displaystyle n\)–угольника равно

\(\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}{\small.}\)

• \(\displaystyle n\) – натуральное число,
• \(\displaystyle n \geq 3\) (так как \(\displaystyle n\) – это количество сторон многоугольника),
• \(\displaystyle n\) – делитель числа \(\displaystyle 88{\small.}\)

Найдем такое \(\displaystyle n{\small,}\) при котором будет выполняться равенство

\(\displaystyle n(n-3)=88{\small.}\)

Значит, \(\displaystyle 44\) диагонали имеет многоугольник, у которого  \(\displaystyle 11\) сторон.

Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть равенства:

 \(\displaystyle n(n-3)=88{\small;}\)

\(\displaystyle n^2-3n-88=0{\small.}\)

Решим приведенное квадратное уравнение

\(\displaystyle n^2-3n-88=0{\small.}\)

В нашем уравнении \(\displaystyle n\) – переменная, коэффициент \(\displaystyle b=-3{ \small ,}\)  \(\displaystyle c=-88{\small .}\)

Найдем дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}=(-3)^2-4\cdot (-88)=9+352=361{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle n_1=\frac{3+\sqrt{361}}{2}=\frac{3+19}{2}=11{\small ,}\)

\(\displaystyle n_2=\frac{3-\sqrt{361}}{2}=\frac{3-19}{2}=-8{\small .}\)

Так как \(\displaystyle n\) – натуральное число, то \(\displaystyle n=11{\small.}\)