Известно, что \(\displaystyle \tg15^{\circ}=2-\sqrt{3}\small.\) Найдите \(\displaystyle \tg165^{\circ}\small.\)
Выразим \(\displaystyle \tg165^{\circ}\) через \(\displaystyle \tg15^{\circ}\small,\) используя формулы приведения.
По определению тангенса:
\(\displaystyle \tg165^{\circ}=\frac{\sin165^{\circ}}{\cos165^{\circ}}\) и \(\displaystyle \tg15^{\circ}=\frac{\sin15^{\circ}}{\cos15^{\circ}}\small.\)
Воспользуемся формулами приведения:
Для углов \(\displaystyle 0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}{\small:}\)
\(\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha\) и \(\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha\small.\)
Тогда
- \(\displaystyle \sin(165^{\circ})=\sin(180^{\circ}-165^{\circ})=\sin15^{\circ}\small,\)
- \(\displaystyle \cos(165^{\circ})=-\cos(180^{\circ}-165^{\circ})=-\cos15^{\circ}\small.\)
Получаем:
\(\displaystyle \tg165^{\circ}=\frac{\sin165^{\circ}}{\cos165^{\circ}}=\frac{\sin15^{\circ}}{-\cos15^{\circ}}=-\tg15^{\circ}=-(2-\sqrt{3})=\sqrt{3}-2\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \tg165^{\circ}=\sqrt{3}-2\small.\)