Теория: 09 Теорема косинусов и решение треугольников (короткая версия)

Запишем теорему косинусов для стороны \(\displaystyle BC\small,\) противолежащей углу \(\displaystyle A{\small:}\)

\(\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\angle A\small.\)

Подставим известные значения сторон и найдем \(\displaystyle \cos\angle A{\small:}\)

\(\displaystyle 10^2=12^2+15^2-2\cdot12\cdot15\cdot\cos\angle A\small,\)

\(\displaystyle 100=369-360\cos\angle A\small,\)

\(\displaystyle 360\cos\angle A=369-100\small,\)

\(\displaystyle \cos\angle A=\frac{269}{360}\small.\)

Запишем теорему косинусов для стороны \(\displaystyle AC\small,\) противолежащей углу \(\displaystyle B{\small:}\)

\(\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos\angle B\small.\)

Подставим известные значения сторон и найдем \(\displaystyle \cos\angle B{\small:}\)

\(\displaystyle 15^2=12^2+10^2-2\cdot12\cdot10\cdot\cos\angle B\small,\)

\(\displaystyle 225=244-240\cos\angle B\small,\)

\(\displaystyle 240\cos\angle B=244-225\small,\)

\(\displaystyle \cos\angle B=\frac{19}{240}\small.\)

Запишем теорему косинусов для стороны \(\displaystyle AB\small,\) противолежащей углу \(\displaystyle C{\small:}\)

\(\displaystyle AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos\angle C\small.\)

Подставим известные значения сторон и найдем \(\displaystyle \cos\angle C{\small:}\)

\(\displaystyle 12^2=15^2+10^2-2\cdot15\cdot10\cdot\cos\angle C\small,\)

\(\displaystyle 144=325-300\cos\angle C\small,\)

\(\displaystyle 300\cos\angle C=325-144\small,\)

\(\displaystyle \cos\angle C=\frac{181}{300}\small.\)