Квадрат со стороной \(\displaystyle \sqrt 3{\small }\) разместили в прямоугольнике со сторонами \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 6{\small .}\)
В прямоугольнике выбирают случайную точку. Какова вероятность того, что эта точка не принадлежит квадрату?
Если случайно выбранная из прямоугольника точка не принадлежит квадрату, то она принадлежит той части прямоугольника, которая не покрыта квадратом.
Обозначим площадь этой части за \(\displaystyle S\small.\)
Тогда искомая вероятность равна
\(\displaystyle P=\frac{S}{{\color{blue}{S_{\text{\small}{прямоугольника}}}}}\small.\)
Вычислим площади фигур, входящих в формулу геометрической вероятности.
1. Площадь прямоугольника со сторонами \(\displaystyle 4{\small}\) и \(\displaystyle 6{\small }\) равна
\(\displaystyle \color{blue}{S_{\text{\small}{прямоугольника}}=4\cdot 6=24} {\small .}\)
2. Площадь \(\displaystyle S\)части прямоугольника, которая не покрыта квадратом, можно найти как разность площадей прямоугольника и квадрата:
\(\displaystyle S=\color{blue}{S_{\text{\small}{прямоугольника}}}-\color{993300}{S_{\text{\small}{квадрата}}}\small.\)
Площадь квадрата со стороной \(\displaystyle \sqrt 3{\small }\) равна
\(\displaystyle \color{993300}{{S_{\text{\small}{квадрата}}}=(\sqrt 3)^2={3}}{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle S=\color{blue}{24}-\color{993300}{3}=21{\small .}\)
3. Тогда вероятность того, что случайно выбранная из прямоугольника точка не принадлежит квадрату, равна
\(\displaystyle P=\dfrac{{21}}{\color{blue}{24}}=\dfrac{7}{8}=0{,}875{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle 0{,}875{\small .}\)