Теория: 07 Выбор точки из дуги окружности

\(\displaystyle \color{darkviolet}1\small.\)Изобразим окружность с центром \(\displaystyle O{\small}\) и точку \(\displaystyle A\) на ней, проведём диаметр \(\displaystyle AB{\small.}\)

\(\displaystyle \color{darkviolet}2\small.\)Выясним, где на окружности может находиться точка \(\displaystyle X{\small,}\) чтобы выполнялось неравенство

\(\displaystyle 30^\circ \leqslant \angle AOX \leqslant 80^\circ{\small.}\)

На окружности:

• отметим точку \(\displaystyle K{\small}\) против часовой стрелки от точки \(\displaystyle A\) так, что \(\displaystyle \angle AOK=30^\circ{\small;}\)
• отметим точку \(\displaystyle L{\small}\) против часовой стрелки от точки \(\displaystyle A\) так, что \(\displaystyle \angle AOL=80^\circ{\small;}\)
• отметим точку \(\displaystyle M{\small}\) по часовой стрелке от точки \(\displaystyle A\) так, что \(\displaystyle \angle AOM=30^\circ{\small;}\)
• отметим точку \(\displaystyle N{\small}\) по часовой стрелке от точки \(\displaystyle A\) так, что \(\displaystyle \angle AON=80^\circ{\small.}\)

\(\displaystyle \color{darkviolet}3\small.\)Найдём вероятность того, что случайная точка \(\displaystyle X\) окружности принадлежит меньшей дуге \(\displaystyle KL{\small}\) или меньшей дуге \(\displaystyle MN{\small.}\)

Рассмотрим события:

• \(\displaystyle A_1\)– случайная точка \(\displaystyle X\) окружности принадлежит меньшей дуге \(\displaystyle KL{\small,}\)
• \(\displaystyle A_2\)– случайная точка \(\displaystyle X\) окружности принадлежит меньшей дуге \(\displaystyle MN{\small.}\)

Событие \(\displaystyle “\!\)случайная точка \(\displaystyle X\) окружности принадлежит меньшей дуге \(\displaystyle KL{\small}\) или меньшей дуге \(\displaystyle MN\,"{\small}\) равно объединению событий \(\displaystyle A_1\) и \(\displaystyle A_2{\small.}\)

Поскольку события \(\displaystyle A_1\) и \(\displaystyle A_2\) несовместны, то

Найдём вероятности \(\displaystyle P(A_1)\) и \(\displaystyle P(A_2){\small}\)

Градусная мера окружности равна \(\displaystyle \color {green}{360^{\circ}}{\small .}\) Так как дуга \(\displaystyle \color{red}{KL}{\small}\) меньше полуокружности, то её градусная мера равна градусной мере центрального угла \(\displaystyle KOL{\small ,}\) опирающегося на \(\displaystyle \color{red}{KL}{\small.}\) Угол \(\displaystyle KOL\) равен разности углов \(\displaystyle AOL\) и \(\displaystyle AOK{\small :}\) \(\displaystyle \angle KOL=\angle AOL-\angle AOK=80^{\circ}-30^{\circ}=50^{\circ}{\small .}\) Поэтому   \(\displaystyle \color{red}{\overset{ \,\,\,\smile }{KL}} =\angle KOL=\color {ff0033}{50^{\circ}}{\small .}\) Получаем: \(\displaystyle P(X\in \color{red}{\overset{ \,\,\,\smile }{KL}})=\frac{\color {ff0033}{50^\circ }}{\color {green}{360^\circ}}=\frac{5}{36}{\small.}\)

\(\displaystyle \;\)

Градусная мера окружности равна \(\displaystyle \color {green}{360^{\circ}}{\small .}\) Так как дуга \(\displaystyle \color{red}{MN}{\small}\) меньше полуокружности, то её градусная мера равна градусной мере центрального угла \(\displaystyle MON{\small ,}\) опирающегося на \(\displaystyle \color{red}{MN}{\small.}\) Угол \(\displaystyle MON\) равен разности углов \(\displaystyle AON\) и \(\displaystyle AOM{\small :}\) \(\displaystyle \angle MON=\angle AON-\angle AOM=80^{\circ}-30^{\circ}=50^{\circ}{\small .}\) Поэтому   \(\displaystyle \color{red}{\overset{ \,\,\,\smile }{MN}} =\angle MON=\color {ff0033}{50^{\circ}}{\small .}\) Получаем: \(\displaystyle P(X\in \color{red}{\overset{ \,\,\,\smile }{MN}})=\frac{\color {ff0033}{50^\circ }}{\color {green}{360^\circ}}=\frac{5}{36}{\small.}\)

\(\displaystyle \;\)

Тогда искомая вероятность равна

\(\displaystyle P(A_1 \cup A_2)=P(A_1) + P(A_2)=\frac{5}{36}+\frac{5}{36}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{5}{18}{\small.}\)