Разложите на множители:
\(\displaystyle 18x^{\,2}-21ayx+12yx-14ay^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)\big(\)\(\displaystyle \big)\)
Сначала выберем произвольный параметр, который встречается в половине слагаемых (то есть в нашем случае – дважды). Это параметр \(\displaystyle a.\) Сгруппируем все члены с данным параметром в одни скобки, а остальные – в другие:
\(\displaystyle 18x^{\,2}-21\color{red}{a}yx+12yx-14\color{red}{a}y^{\,2}=(-21\color{red}{a}yx-14\color{red}{a}y^{\,2})+(18x^{\,2}+12yx\,).\)
Найдем общий множитель для выражения в первых скобках \(\displaystyle (-21ayx-14ay^{\,2})\) (которое, как мы решили, содержит параметр \(\displaystyle a\)).
- Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 21\) и \(\displaystyle 14\) равен \(\displaystyle 7.\)
- Общие параметры у выражений \(\displaystyle ayx\) и \(\displaystyle ay^{\,2}\) – это параметры \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle y.\)
Значит, общий множитель для \(\displaystyle -21ayx-14ay^{\,2}\) равен \(\displaystyle 7ay.\) Вынося его за скобки, имеем:
\(\displaystyle -21ayx-14ay^{\,2}=7ay\,(-3x-2y\,).\)
Далее найдем общий множитель для выражения во вторых скобках \(\displaystyle (18x^{\,2}+12yx\,)\).
- Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 18\) и \(\displaystyle 12\) равен \(\displaystyle 6.\)
- Общий параметр у выражений \(\displaystyle x^{\,2}\) и \(\displaystyle yx\) – это параметр \(\displaystyle x.\)
Значит, общий множитель для \(\displaystyle 18x^{\,2}+12yx\) равен \(\displaystyle 6x.\) Вынося его за скобки, имеем:
\(\displaystyle 18x^{\,2}+12yx=6x\,(3x+2y\,).\)
Возвращаясь к исходному выражению, получаем:
\(\displaystyle (-21ayx-14ay^{\,2})+(18x^{\,2}+12yx\,)= 7ay\,(-3x-2y\,)+6x\,(3x+2y\,).\)
Заметим, что множители \(\displaystyle (-3x-2y\,)\) и \(\displaystyle (3x+2y\,)\) отличаются только знаком, то есть
\(\displaystyle (-3x-2y\,)=-(3x+2y\,).\)
Поэтому заменим множитель \(\displaystyle (-3x-2y\,)\) на \(\displaystyle -(3x+2y\,)\):
\(\displaystyle \begin{array}{l}7ay\,\color{red}{(-3x-2y\,)}+6x\,(3x+2y\,)= \\[10px]\kern{5em} =7ay\,\color{red}{\Big(-(3x+2y\,)\Big)}+6x\,(3x+2y\,)= \\[10px]\kern{10em} =-7ay\,(3x+2y\,)+6x\,(3x+2y\,).\end{array}\)
Теперь заметим, что в обеих частях выражения есть общий множитель \(\displaystyle (3x+2y\,).\) Значит, его можно вынести за скобки:
\(\displaystyle -7ay\,\color{blue}{(3x+2y\,)}+6x\,\color{blue}{(3x+2y\,)}=\color{blue}{(3x+2y\,)} (-7ay+6x\,)=(3x+2y\,) (6x-7ay\,).\)
Таким образом,
\(\displaystyle 18x^{\,2}-21ayx+12yx-14ay^{\,2}=(3x+2y\,) (6x-7ay\,).\)
Ответ: \(\displaystyle (3x+2y\,) (6x-7ay\,).\)