Skip to main content

Теория: 02 Точка пересечения медиан треугольника (короткая версия)

Задание

Точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) являются серединами сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) треугольника \(\displaystyle ABC\) соответственно. Отрезки \(\displaystyle AN\) и \(\displaystyle CM\) пересекаются в точке \(\displaystyle O{\small,}\) \(\displaystyle AN=15{\small,}\) \(\displaystyle CM=21{\small.}\) Найдите \(\displaystyle AO{\small.}\)

\(\displaystyle AO=\)

Решение

\(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle M\) – середина \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle N\) – середина \(\displaystyle BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle AN=15{\small,}\) \(\displaystyle CM=21{\small;}\)
  • \(\displaystyle O\) – точка пересечения \(\displaystyle AN\) и \(\displaystyle CM{\small.}\)

Требуется найти \(\displaystyle AO{\small.}\)

\(\displaystyle AN\) и \(\displaystyle CM\) – медианы треугольника \(\displaystyle ABC\) по определению.

Теорема о медианах треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении \(\displaystyle 2:1{\small,}\) считая от вершины.

\(\displaystyle \frac{AO}{OA_1}=\frac{BO}{OB_1}=\frac{CO}{OC_1}=\frac{2}{1}\)

По теореме о медианах треугольника

\(\displaystyle \frac{AO}{ON}=\frac{2}{1}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle AO=\frac{2}{3} \cdot AN{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle AN=15{\small.}\)

\(\displaystyle AO=\frac{2}{3}\cdot 15=10{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle AO=10{\small.}\)