Skip to main content

Теория: 02 Точка пересечения медиан треугольника (короткая версия)

Задание

В параллелограмме \(\displaystyle ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(\displaystyle O{\small,}\) точка \(\displaystyle M\) – середина стороны \(\displaystyle BC{\small.}\) Найдите \(\displaystyle AM{\small,}\) если \(\displaystyle BD=12{\small,}\) \(\displaystyle AC=4{\small,}\) а угол \(\displaystyle AOD\) равен \(\displaystyle 120^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle AM=\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм:

  • \(\displaystyle BD=12{\small,}\) \(\displaystyle AC=4{\small,}\)
  • \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей;
  • \(\displaystyle \angle AOD=120^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle M\) – середина стороны \(\displaystyle BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle P\) – точка пересечения \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BD{\small.}\)

Требуется найти длину отрезка \(\displaystyle AM{\small.}\)

\(\displaystyle \angle AOP=60^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle AO=OC=2{\small;}\)

\(\displaystyle BO=OD=6{\small;}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle O\) – середины сторон \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AC\) соответственно, следовательно,

\(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BO\) – медианы треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)

По теореме о медианах треугольника

\(\displaystyle \frac{BP}{PO}=\frac{AP}{PM}=\frac{2}{1}{\small.}\)

Следовательно:

  • \(\displaystyle BP=\frac{2}{3} \cdot BO=\frac{2}{3} \cdot 6=4{\small;}\\ \)
  • \(\displaystyle PO=\frac{1}{3} \cdot BO=\frac{1}{3} \cdot 6=2{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle AOP{\small.}\)

\(\displaystyle \color{blue}{1)}\) \(\displaystyle OA=OP=2{\small,}\) значит, 

\(\displaystyle \triangle AOP\) – равнобедренный.

\(\displaystyle \color{blue}{2)}\) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит,

 

\(\displaystyle \angle OAP= \angle OPA=\frac{180^{\circ}-\angle AOP}{2}=\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle \color{blue}{3)}\) Все углы треугольника \(\displaystyle AOP\) равны \(\displaystyle 60^{\circ}{\small,}\) значит,

\(\displaystyle \triangle AOP\) – равносторонний.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, то есть

\(\displaystyle AP=OA=OP=2{\small.}\)

Найдём длину отрезка \(\displaystyle AM{\small.}\)

  • \(\displaystyle AP=2{\small;}\\ \)
  • \(\displaystyle \frac{AP}{PM}=\frac{2}{1}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle PM=\frac{1}{2} \cdot AP=\frac{1}{2} \cdot 2=1{\small.}\)

Так как точка \(\displaystyle P\) лежит на отрезке \(\displaystyle AM{\small,}\) то

\(\displaystyle AM=AP+PM=2+1=3{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle AM=3{\small.}\)