Skip to main content

Теория: 02 Точка пересечения медиан треугольника (короткая версия)

Задание

Через точку пересечения медиан треугольника \(\displaystyle ABC\) проведен отрезок \(\displaystyle DE{\small,}\) параллельный стороне \(\displaystyle AC{\small.}\) Точки \(\displaystyle D\) и \(\displaystyle E\) лежат на сторонах \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) соответственно. Найдите длину \(\displaystyle DE{\small,}\) если \(\displaystyle AC=15{\small.}\)

\(\displaystyle DE=\)

Решение

\(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle AC=15{\small;}\)
  • \(\displaystyle AA_1{\small,}\) \(\displaystyle BB_1{\small,}\) \(\displaystyle CC_1\)– медианы треугольника \(\displaystyle ABC{\small;}\)
  • \(\displaystyle O\) – точка пересечения медиан;
  • \(\displaystyle DE \parallel AC{\small;}\)
  • точка \(\displaystyle O\) лежит на отрезке \(\displaystyle DE{\small.}\)

Требуется найти длину отрезка \(\displaystyle DE{\small.}\)

 

Выполним дополнительное построение.

Через точку \(\displaystyle D\) параллельно стороне \(\displaystyle BC\) проведём прямую \(\displaystyle DK{\small.}\)

\(\displaystyle K\) – точка пересечения \(\displaystyle DK\) и \(\displaystyle AC{\small.}\)

\(\displaystyle DE=KC{\small.}\)

 

Вспомним теорему о пропорциональных отрезках.

\(\displaystyle \color{red}{1{\small.}}\) Cекущие \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) пересечены параллельными прямыми \(\displaystyle DK\) и \(\displaystyle BC{\small.}\)

Согласно теореме о пропорциональных отрезках:

\(\displaystyle \frac{KC}{BD}=\frac{AK}{DA}{\small.}\)

По свойству пропорции получаем:

\(\displaystyle \color{blue}{\frac{KC}{AK}=\frac{BD}{DA}}{\small.}\)

\(\displaystyle \color{red}{2{\small.}}\) Cекущие \(\displaystyle BA\) и \(\displaystyle BB_1\) пересечены параллельными прямыми \(\displaystyle DO\) и \(\displaystyle AB_1{\small.}\)

Согласно теореме о пропорциональных отрезках:

\(\displaystyle \frac{BD}{BO}=\frac{DA}{OB_1}{\small.}\)

По свойству пропорции получаем:

\(\displaystyle \color{blue}{\frac{BD}{DA}=\frac{BO}{OB_1}}{\small.}\)

\(\displaystyle \color{red}{3{\small.}}\) По теореме о медианах треугольника

\(\displaystyle \color{blue}{\frac{BO}{OB_1}=\frac{2}{1}}{\small.}\)

В результате получаем:

\(\displaystyle \color{blue}{\frac{KC}{AK}=\frac{BD}{DA}=\frac{BO}{OB_1}=\frac{2}{1}}{\small.}\)

То есть \(\displaystyle KC=2t{\small,}\) \(\displaystyle AK=t{\small.}\)

Так как точка \(\displaystyle K\) лежит на отрезке \(\displaystyle AC{\small,}\) то

\(\displaystyle AC=AK+KC=t+2t=3t{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \frac{KC}{AC}=\frac{2t}{3t}=\frac{2}{3}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle KC=\frac{2}{3}\cdot AC{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle AC=15{\small:}\)

\(\displaystyle KC=\frac{2}{3}\cdot 15=10{\small.}\)

Поскольку \(\displaystyle DE=KC{\small,}\) значит, \(\displaystyle DE=10{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle DE=10{\small.}\)