В треугольнике \(\displaystyle ABC\) известно, что \(\displaystyle AC=BC{\small , }\) \(\displaystyle AH\) – высота и \(\displaystyle \sin\angle BAC=\frac{4}{\sqrt{17}}{\small . }\)
Найдите \(\displaystyle \tg \angle HAB{\small .}\)
Треугольник \(\displaystyle ABC\) равнобедренный. Следовательно, \(\displaystyle \sin\angle BAC=\sin\angle CBA{\small.}\)
Пусть \(\displaystyle \angle BAC= \alpha\) и \(\displaystyle \sin \alpha=\frac{4}{\sqrt{17}}{\small.}\) |  |
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ABH{\small.}\)
По определению синуса в прямоугольном треугольнике: \(\displaystyle \sin \alpha=\frac{HA}{AB}{\small.}\) По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: \(\displaystyle \cos \angle HAB=\frac{HA}{AB}{\small.}\) |  |
Значит,
\(\displaystyle \cos \angle HAB=\sin \alpha=\frac{4}{\sqrt{17}}{\small.}\)
Для нахождения \(\displaystyle \sin \angle HAB\) воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
\(\displaystyle \sin^2\angle HAB+\cos^2 \angle HAB=1{\small;}\)
\(\displaystyle \sin^2\angle HAB = 1 - \cos^2\angle HAB{\small.}\)
Подставим \(\displaystyle \cos \angle HAB=\frac{4}{\sqrt{17}}{\small:}\)
\(\displaystyle \sin^2\angle HAB=1-\bigg(\frac{4}{\sqrt{17}}\bigg)^2{\small;}\)
\(\displaystyle \sin^2\angle HAB=1-\frac{16}{17}{\small;}\)
\(\displaystyle \sin^2\angle HAB=\frac{1}{17}{\small;}\)
\(\displaystyle \sin\angle HAB=\frac{1}{\sqrt{17}}{\small .}\)
По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:
\(\displaystyle \tg \angle HAB=\frac{\sin\angle HAB}{\cos\angle HAB}{\small.}\)
Подставим \(\displaystyle \sin \angle HAB=\frac{1}{\sqrt{17}}\) и \(\displaystyle \cos\angle HAB=\frac{4}{\sqrt{17}} {\small:}\)
\(\displaystyle \tg \angle HAB=\frac{\frac{1}{\sqrt{17}}}{\frac{4}{\sqrt{17}}}{\small;}\)
\(\displaystyle \tg \angle HAB=\frac{1}{4}{\small;}\)
\(\displaystyle \tg \angle HAB=0{,}25{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}25{\small .}\)