Skip to main content

Теория: Внутреннее и внешнее касание окружностей

Задание

Две окружности с центрами в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) касаются внешним образом, причём каждая из них касается изнутри третьей окружности с центром в точке \(\displaystyle C\) и радиусом \(\displaystyle 7{\small.}\) Найдите периметр треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=\)

Решение

свойство касающихся окружностей

Точка касания двух окружностей лежит на одной прямой с их центрами.

внешнее касание

внутреннее касание

Обозначим точки касания окружностей.

  • \(\displaystyle F\) – точка касания окружностей с центрами в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small,}\) \(\displaystyle F \in AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle D\) – точка касания окружностей с центрами в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C{\small,}\) \(\displaystyle D \in AC{\small;}\)
  • \(\displaystyle E\) – точка касания окружностей с центрами в точках \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C{\small,}\) \(\displaystyle E \in BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle CD=CE=7\) – радиусы окружности с центром в точке \(\displaystyle C{\small.}\)

 

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+AC+BC{\small.}\)

\(\displaystyle AB=AD+BE{\small.}\)

Тогда 

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=AD+BE+AC+BC{\small.}\)

 

Так как \(\displaystyle AC+AD=CD\) и \(\displaystyle BC+BE=CE{\small,}\) то

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=CD+CE=7+7=14{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle P_{\triangle ABC}=14{\small.}\)