Skip to main content

Теория: 17 Общие касательные двух окружностей (короткая версия)

Задание

Окружности, радиусы которых равны \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 9{\small,}\) вписаны в угол величиной \(\displaystyle 60^{\circ}{\small.}\) Найдите расстояние между их центрами.

Решение

Введём обозначения:

  • \(\displaystyle A\) – вершина угла;
  • \(\displaystyle O_1\) и \(\displaystyle O_2\) – центры меньшей и большей окружностей, вписанных в угол, соответственно;
  • \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle D\) – точки касания меньшей окружности со сторонами угла \(\displaystyle A{\small;}\)
  • \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle E\) – точки касания большей окружности со сторонами угла \(\displaystyle A{\small.}\)

 

Так как окружности вписаны в угол \(\displaystyle A{\small,}\) то точки \(\displaystyle O_1\) и \(\displaystyle O_2\) лежат на биссектрисе этого угла.

Проведём радиусы окружностей в точки касания.

По свойству касательной

  • радиусы \(\displaystyle O_1B\) и \(\displaystyle O_2C\) перпендикулярны прямой \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • радиусы \(\displaystyle O_1D\) и \(\displaystyle O_2E\) перпендикулярны прямой \(\displaystyle AD{\small.}\)

 

\(\displaystyle AO_1\) – биссектриса угла \(\displaystyle A{\small,}\) значит,

\(\displaystyle \angle O_1AB=\angle O_1AD=30^{\circ}{\small.}\)

 

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle AO_1B\) и \(\displaystyle AO_2C{\small:}\)

В прямоугольном треугольнике напротив угла в \(\displaystyle 30^{\circ}\) лежит катет , равный половине гипотенузы.

Следовательно,

  • в треугольнике \(\displaystyle AO_1B{\small:}\)

\(\displaystyle AO_1= 2\cdot O_1B=2 \cdot 4=8{\small;}\)

  • в треугольнике \(\displaystyle AO_2C{\small:}\)

\(\displaystyle AO_2= 2\cdot O_2C=2 \cdot 9=18{\small.}\)

 

Найдём расстояние между центрами окружностей:

\(\displaystyle O_1O_2=AO_2-AO_1=18-8=10{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 10{\small.}\)