Skip to main content

Теория: 17 Общие касательные двух окружностей (короткая версия)

Задание

Две окружности радиусов \(\displaystyle 9\) и \(\displaystyle 4\) касаются друг друга внешним образом, а также одной прямой в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small.}\) Найдите длину отрезка \(\displaystyle AB{\small.}\)

\(\displaystyle AB=\)

Решение

Пусть

  • \(\displaystyle O_1\) и \(\displaystyle O_2\) – центры окружностей;
  • \(\displaystyle C\) – точка касания окружностей.

Точка \(\displaystyle C\) лежит на отрезке \(\displaystyle O_1O_2{\small.}\)

  • \(\displaystyle O_1C=4{\small,}\) \(\displaystyle O_2C=9{\small,}\) тогда

\(\displaystyle O_1O_2=O_1C+O_2C=4+9=13{\small.}\)

 

Проведём радиусы окружностей в точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small.}\)

  • По свойству касательной радиусы \(\displaystyle O_1A\) и \(\displaystyle O_2B\) перпендикулярны прямой \(\displaystyle AB{\small.}\)

 

Выполним дополнительное построение.

Через центр \(\displaystyle O_1\) меньшей окружности проведём прямую параллельную общей касательной \(\displaystyle AB{\small.}\) Пусть она пересекает радиус \(\displaystyle O_2B\) в точке \(\displaystyle H{\small.}\)

Четырёхугольник \(\displaystyle AO_1HB\) является прямоугольником. Значит,

  • \(\displaystyle O_1H=AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle HB=O_1A=4{\small;}\)
  • \(\displaystyle O_2H=O_2B-HB=9-4=5{\small.}\)

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle O_1O_2H{\small:}\)

По теореме Пифагора

\(\displaystyle O_1O_2^2=O_1H^2+O_2H^2{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle O_1H^2=O_1O_2^2-O_2H^2{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle O_1O_2=13{\small,}\) \(\displaystyle O_2H=5{\small:}\)

\(\displaystyle O_1H^2=13^2-5^2=169-25=144{\small.}\)

 

Так как длина отрезка неотрицательна, то \(\displaystyle O_1H=12{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle AB=12{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle AB=12{\small.}\)