Найдите среднее геометрическое чисел \(\displaystyle 4\small,\) \(\displaystyle 6\) и \(\displaystyle 9\small.\)
Среднее геометрическое
Средним геометрическим \(\displaystyle n\) положительных чисел называется такое положительное число \(\displaystyle a\small,\) что число \(\displaystyle a^n\) равно произведению данных чисел.
Требуется найти среднее геометрическое трех чисел, значит \(\displaystyle n=3\small.\)
Произведением данных чисел \(\displaystyle 4\small,\) \(\displaystyle 6\) и \(\displaystyle 9\) является число
\(\displaystyle 4 \cdot 6 \cdot 9=216\small.\)
Теперь требуется найти такое положительное число \(\displaystyle a\small,\) что число \(\displaystyle a^3\) равно \(\displaystyle 216\small.\)
То есть надо найти положительное число \(\displaystyle a\small,\) куб которого равен \(\displaystyle 216\small.\)
Таблица кубов чисел до \(\displaystyle 10{\small : } \)
| \(\displaystyle \color{blue}{2^3}\) | \(\displaystyle \color{blue}{3^3}\) | \(\displaystyle \color{blue}{4^3}\) | \(\displaystyle \color{blue}{5^3}\) | \(\displaystyle \color{blue}{6^3}\) | \(\displaystyle \color{blue}{7^3}\) | \(\displaystyle \color{blue}{8^3}\) | \(\displaystyle \color{blue}{9^3}\) | \(\displaystyle \color{blue}{10^3}\) |
| \(\displaystyle \bf \color{green}{8}\) | \(\displaystyle \bf \color{green}{27}\) | \(\displaystyle \bf \color{green}{64}\) | \(\displaystyle \bf \color{green}{125}\) | \(\displaystyle \bf \color{green}{216}\) | \(\displaystyle \bf \color{green}{343}\) | \(\displaystyle \bf \color{green}{512}\) | \(\displaystyle \bf \color{green}{729}\) | \(\displaystyle \bf \color{green}{1000}\) |
Из таблицы кубов получаем, что \(\displaystyle 6^3=216{\small . } \)
Кубы чисел, больших \(\displaystyle 6\small,\) будут больше, чем \(\displaystyle 216\small.\) Кубы неотрицательных чисел, меньших \(\displaystyle 6\small,\) будут меньше, чем \(\displaystyle 216\small.\)
Значит, единственное неотрицательное число, куб которого равен \(\displaystyle 216\small,\) – это число \(\displaystyle 6\small.\)
Поэтому среднее геометрическое чисел \(\displaystyle 4\small,\) \(\displaystyle 6\) и \(\displaystyle 9\) – число \(\displaystyle 6\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 6\small.\)