Skip to main content

Теория: 03 Выбор точки из фигуры на плоскости - 3

Задание

Сторону \(\displaystyle AC\) треугольника \(\displaystyle ABC\) разбили на пять равных частей точками \(\displaystyle M\small,\) \(\displaystyle N\small,\) \(\displaystyle P\small\) и \(\displaystyle Q{\small .}\)


В треугольнике \(\displaystyle ABC\) случайным образом выбирают точку. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику \(\displaystyle PBQ{\small .}\)
 

\frac{1}{5}
Решение

Требуется найти вероятность того, что случайно выбранная в \(\displaystyle \triangle ABC\) точка принадлежит \(\displaystyle \triangle PBQ{\small .}\)

Эта вероятность равна отношению площади треугольника \(\displaystyle PBQ{\small }\) к площади треугольника \(\displaystyle ABC{\small:}\)

\(\displaystyle P=\frac{\color{990033}{S_{PBQ}}}{\color{003399}{S_{ABC}}}{\small.}\)
 

Треугольники \(\displaystyle \triangle ABM{\small ,}\) \(\displaystyle \triangle MBN{\small ,}\) \(\displaystyle \triangle NBP{\small ,}\) \(\displaystyle \triangle PBQ{\small }\) и \(\displaystyle \triangle QBC{\small }\) имеют:

  • равные основания \(\displaystyle AM{\small ,}\) \(\displaystyle MN{\small, }\) \(\displaystyle NP{\small,}\) \(\displaystyle PQ{\small }\) и \(\displaystyle QC{\small, }\)
  • общую высоту \(\displaystyle BH{\small .}\)

Значит, эти треугольники равновелики (имеют равные площади).

Пусть

\(\displaystyle S_{ABM}=S_{MBN}=S_{NBP}=S_{PBQ}=S_{QBC}={\color{990033}{s}}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle S_{ABC}=\color{003399}{5s}{\small .}\)

\(\displaystyle \;\)

 

Получаем, что искомая вероятность равна

\(\displaystyle P=\frac{\color{990033}{s}}{\color{003399}{5s}}=\frac{1}{5}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{5}{\small.}\)