Проводят \(\displaystyle l\) испытаний, с вероятностью наступления успеха \(\displaystyle p\small,\) вероятность неудачи составляет \(\displaystyle q\small.\)
Найдите вероятность успеха в \(\displaystyle m\) фиксированных испытаниях и неудач во всех остальных.
| \(\displaystyle p\) |
| \(\displaystyle \cdot\) | \(\displaystyle q\) |
|
По условию, вероятность успеха при одном испытании составляет \(\displaystyle p\small,\) вероятность неудачи составляет \(\displaystyle q\small.\)
Пусть событие \(\displaystyle A\)\(\displaystyle -\) "успех в \(\displaystyle m\) фиксированных испытаниях и неудача во всех остальных".
Всего проводят \(\displaystyle l\) испытаний, из них \(\displaystyle m\) фиксированных.
Вероятность успеха в каждом из \(\displaystyle l\) фиксированных испытаний равна \(\displaystyle p\small.\)
Вероятность неудачи в остальных \(\displaystyle l-m\)испытаниях равна \(\displaystyle q\small.\)
Поскольку испытания Бернулли представляют собой независимые события, по правилу умножения вероятностей
\(\displaystyle P(A)=\underbrace{p\cdot p\cdot p\cdot \ldots \cdot p}_{m}\cdot \underbrace{q\cdot q\cdot q \cdot \ldots \cdot q}_{l-m}=p^m\cdot q^{l-m}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle p^m\cdot q^{l-m}\small.\)