Skip to main content

Теория: Свойства-2. Диагонали. Стороны (короткая версия)

Задание

Диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) прямоугольника \(\displaystyle ABCD\) пересекаются в точке \(\displaystyle O{\small,}\) \(\displaystyle P_{\triangle OAB}=13\, {\footnotesize см}{\small,}\) \(\displaystyle P_{\triangle OAD}=14\, {\footnotesize см}{\small.}\) Найдите периметр данного прямоугольника, если длина диагонали \(\displaystyle AC\) равна \(\displaystyle 5\, {\footnotesize см}{\small.}\)

\(\displaystyle P_{ABCD}=\) \(\displaystyle {\footnotesize см}{\small.}\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – прямоугольник.

  • \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) – диагонали прямоугольника;
  • \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей;
  • \(\displaystyle AC=5\, {\footnotesize см}{\small;}\)
  • \(\displaystyle P_{\triangle OAB}=13\, {\footnotesize см}{\small;}\)
  • \(\displaystyle P_{\triangle OAD}=14\, {\footnotesize см}{\small.}\)

 

Требуется найти периметр данного прямоугольника. 

 

Периметр прямоугольника \(\displaystyle ABCD\) можно вычислить по формуле:

\(\displaystyle P_{ABCD}=2(AB+ AD){\small.}\)

Известны периметры треугольников \(\displaystyle AOB\) и \(\displaystyle AOD{\small:}\)

\(\displaystyle P_{\triangle OAB}=AB+OA+OB=13\, {\footnotesize см}{\small;}\)

\(\displaystyle P_{\triangle OAD}=AD+OA+OD=14\, {\footnotesize см}{\small.}\)

Выразим из этих равенств стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AD{\small:}\)

\(\displaystyle AB=13-(OA+OB){\small;}\)

\(\displaystyle AD=14-(OA+OD){\small.}\)

По свойству прямоугольника

\(\displaystyle OA=OB=OC=OD=2{,}5\, \footnotesize см{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle AB=13-(2{,}5+2{,}5)=13-5=8\, \footnotesize см{\small;}\)

\(\displaystyle AD=14-(2{,}5+2{,}5)=14-5=9\, \footnotesize см{\small.}\)

Подставим в формулу периметра прямоугольника найденные длины сторон:

\(\displaystyle P_{ABCD}=2(AB+ AD){\small;}\)

\(\displaystyle P_{ABCD}=2 \cdot (8+ 9)=2 \cdot 17=34\, {\footnotesize см}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle P_{ABCD}=34\, {\footnotesize см}{\small.}\)