Skip to main content

Теория: Дополнительные построения (короткая версия)

Задание

Точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle K\) делят стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) треугольника \(\displaystyle ABC\) в отношении \(\displaystyle 3:4\) и \(\displaystyle 5:2\) соответственно, считая от их общей вершины \(\displaystyle B{\small.}\)  Медиана \(\displaystyle BL\) треугольника \(\displaystyle ABC\) пересекает отрезок \(\displaystyle MK\) в точке \(\displaystyle P{\small.}\) Найдите \(\displaystyle MP:PK{\small.}\)

\(\displaystyle MP:PK=\)\(\displaystyle :\)\(\displaystyle {\small.}\)

Решение

\(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle BL\) – медиана, то есть \(\displaystyle AL=CL{\small;}\)
  • \(\displaystyle BM:AM=3:4{\small,}\) то есть

\(\displaystyle BM=3k{\small,}\) \(\displaystyle AM=4k{\small;}\)

  • \(\displaystyle BK:CK=5:2{\small,}\) то есть

\(\displaystyle BK=5t{\small,}\) \(\displaystyle CK=2t{\small;}\)

  • \(\displaystyle P\) – точка пересечения \(\displaystyle MK\) и \(\displaystyle BL{\small.}\)

 

Требуется найти \(\displaystyle MP:PK=\large \color{red}{?}\)

Выполним дополнительное построение.

Через точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle K\) параллельно медиане \(\displaystyle BL\) проведём прямые \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle KF{\small.}\)

\(\displaystyle N\) – точка пересечения \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle AC{\small.}\)

\(\displaystyle F\) – точка пересечения \(\displaystyle KF\) и \(\displaystyle AC{\small.}\)

Вспомним теорему о пропорциональных отрезках.

Секущие \(\displaystyle MK\) и \(\displaystyle NF\) пересечены параллельными прямыми \(\displaystyle MN{\small,}\) \(\displaystyle PL\) и \(\displaystyle KF{\small.}\)

Согласно теореме о пропорциональных отрезках:

\(\displaystyle \frac{MP}{NL}=\frac{PK}{LF}{\small.}\)

По свойству пропорции получаем:

\(\displaystyle MP:PK=NL:LF{\small.}\)

 

Найдём отношение длин отрезков \(\displaystyle NL\) и \(\displaystyle LF{\small.}\)

\(\displaystyle \color{red}{1{\small.}}\) Cекущие \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AL\) пересечены параллельными прямыми \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle BL{\small.}\)

Согласно теореме о пропорциональных отрезках:

\(\displaystyle \frac{AN}{AM}=\frac{NL}{BM}{\small.}\)

По свойству пропорции получаем:

\(\displaystyle AN:NL=AM:BM=4:3{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle AN=4a{\small,}\) \(\displaystyle NL=3a{\small,}\) \(\displaystyle AL=7a{\small.}\)

 

Следовательно,

\(\displaystyle NL=\frac{3}{7} \cdot AL{\small.}\)

\(\displaystyle \color{red}{2{\small.}}\) Cекущие \(\displaystyle CL\) и \(\displaystyle CB\) пересечены параллельными прямыми \(\displaystyle KF\) и \(\displaystyle BL{\small.}\)

Согласно теореме о пропорциональных отрезках:

\(\displaystyle \frac{CF}{CK}=\frac{LF}{BK}{\small.}\)

По свойству пропорции получаем:

\(\displaystyle CF:LF=CK:BK=2:5{\small.}\)

То есть 

\(\displaystyle CF=2b{\small,}\) \(\displaystyle LF=5b{\small,}\) \(\displaystyle CL=7b{\small.}\)

 

Следовательно,

\(\displaystyle LF=\frac{5}{7} \cdot CL{\small.}\)

В результате получаем

\(\displaystyle NL:LF=\left(\frac{3}{7}\cdot AL\right):\left(\frac{5}{7}\cdot CL\right){\small.}\)

Так как \(\displaystyle AL=CL{\small,}\) то

\(\displaystyle NL:LF=\left(\frac{3}{7} \cdot CL\right):\left(\frac{5}{7} \cdot CL\right)=\frac{3}{7} :\frac{5}{7}=\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{5}=\frac{3}{5}=3:5{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle MP:PK=3:5{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle MP:PK=3:5{\small.}\)