Теория: Нахождение куба разности

Первый способ.

Известно, что выражение \(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}\) является полным кубом разности.

Заметим, что \(\displaystyle 27x^{\,3}=3^3x^{\,3}=(3x\,)^3\) и \(\displaystyle 64y^{\,3}=4^3y^{\,3}=(4y\,)^3,\) и поэтому

\(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}=(3x\,)^3-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-(4y\,)^3.\)

Сравнивая равенства

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{r}\color{blue}{a}^{\,3}\\(\color{blue}{3x}\,)^3\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}-\\-\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\3\cdot (\color{blue}{3x}\,)^2\cdot \color{green}{4y}\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\3\cdot \color{blue}{3x}\cdot (\color{green}{4y}\,)^2\end{array}\begin{array}{l}-\color{green}{b}^{\,3}\\-(\color{green}{4y}\,)^3\end{array}\begin{array}{l}=(\color{blue}{a}-\color{green}{b}\,)^3\\=(\,\color{blue}{?\,}-\,\color{green}{?\,})^3,\end{array}\end{aligned}\)

видим, что они в точности совпадают, если \(\displaystyle a=3x\) и \(\displaystyle b=4y.\)

Поэтому 

\(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}=({\bf 3x-4y}\,)^3.\)

Ответ: \(\displaystyle ({\bf 3x-4y}\,)^3.\)

Второй способ.

Известно, что выражение \(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}\) является полным кубом разности.

Значит,

\(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}=(a-b\,)^3\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Напомним формулу "куб разности".

Следовательно,

\(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)

Заметим, что поскольку \(\displaystyle 27x^{\,3}=3^3x^{\,3}=(3x\,)^3\) и \(\displaystyle 64y^{\,3}=4^3y^{\,3}=(4y\,)^3,\) то

\(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}=(3x\,)^3-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-(4y\,)^3\)

и

\(\displaystyle (3x\,)^3-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-(4y\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)

Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(3x\,)^3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-\color{green}{(4y\,)^3},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3x\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(4y\,)^3}.\)

Тогда можно предположить, что \(\displaystyle a=3x\) и \(\displaystyle b=4y.\)

1. Очевидно, что два равенства \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3x\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(4y\,)^3}\) выполняются.

2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений

\(\displaystyle -3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2\)

при \(\displaystyle a=3x\) и \(\displaystyle b=4y.\)

Подставляем \(\displaystyle a=3x\) и \(\displaystyle b=4y\) и получаем

\(\displaystyle -3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2=-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2,\)

верное равенство.

В итоге мы получили равенство

\(\displaystyle (3x\,)^3-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-(4y\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}\)

при \(\displaystyle a=3x\) и \(\displaystyle b=4y.\)

Следовательно,

\(\displaystyle (3x\,)^3-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-(4y\,)^3=(a-b\,)^3\)

при \(\displaystyle a=3x\) и \(\displaystyle b=4y,\) то есть

\(\displaystyle (3x\,)^3-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-(4y\,)^3=(3x-4y\,)^3.\)

Таким образом,

\(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}=({\bf 3x-4y}\,)^3.\)

Ответ: \(\displaystyle ({\bf 3x-4y}\,)^3.\)