Skip to main content

Теория: Нахождение куба разности

Задание

Найдите куб разности:
 

\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)

Решение

Первый способ.

Известно, что выражение \(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}\) является полным кубом разности.

Правило

Куб разности

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)

Сначала заметим, что  \(\displaystyle 8y^{\,3}=2^3y^{\,3}=(2y\,)^3\) и \(\displaystyle 125z^{\,3}=5^3z^{\,3}=(5z\,)^3.\) Далее распишем \(\displaystyle 60y^{\,2}z\) и \(\displaystyle 150y z^{\,2}\) как утроенные произведения так, чтобы один из множителей был в квадрате:

\(\displaystyle 60y^{\,2}z=3\cdot 4y^{\,2}\cdot 5z=3\cdot (2y\,)^2\cdot 5z,\)

\(\displaystyle 150y z^{\,2}=3\cdot 2y\cdot 25z^{\,2}=3\cdot 2y\cdot (5z\,)^2.\)

Поэтому

\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=(2y\,)^3-3\cdot (2y\,)^2\cdot 5z+3\cdot 2y\cdot (5z\,)^2-(5z\,)^3.\)

Сравнивая равенства

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{r} \color{blue}{a}^{\,3}\\ (\color{blue}{2y}\,)^3 \end{array} \kern{-0.2em} \begin{array}{l} -\\ - \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\ 3\cdot (\color{blue}{2y}\,)^2\cdot \color{green}{5z} \end{array} \kern{-0.2em} \begin{array}{l} +\\ + \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\ 3\cdot \color{blue}{2y}\cdot (\color{green}{5z}\,)^2 \end{array} \begin{array}{l} -\color{green}{b}^{\,3}\\ -(\color{green}{5z}\,)^3 \end{array} \begin{array}{l} =(\color{blue}{a}-\color{green}{b}\,)^3\\ =(\,\color{blue}{?\,}-\,\color{green}{?\,})^3, \end{array} \end{aligned}\)

видим, что они в точности совпадают, если \(\displaystyle a=2y\) и \(\displaystyle b=5z.\)

Таким образом,

\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=({\bf 2y-5z}\,)^3.\)

Ответ: \(\displaystyle ({\bf 2y-5z}\,)^3.\)

 

Второй способ.

Известно, что выражение \(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}\) является полным кубом разности.

Значит,

\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=(a-b\,)^3\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Напомним формулу "куб разности".

Правило

Куб разности

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)

Следовательно,

\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)

Заметим, что поскольку \(\displaystyle 8y^{\,3}=2^3y^{\,3}=(2y\,)^3\) и \(\displaystyle 125z^{\,3}=5^3z^{\,3}=(5z\,)^3,\) то

\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=(2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3\)

и

\(\displaystyle (2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)

Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(2y\,)^3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-\color{green}{(5z\,)^3},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(2y\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(5z\,)^3}.\)

Тогда можно предположить, что \(\displaystyle a=2y\) и \(\displaystyle b=5z.\)

1. Очевидно, что два равенства \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(2y\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(5z\,)^3}\) выполняются.

2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений

\(\displaystyle -3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}\)

при \(\displaystyle a=2y\) и \(\displaystyle b=5z.\)

Подставляем \(\displaystyle a=2y\) и \(\displaystyle b=5z\) и получаем

\(\displaystyle -3\cdot (2y\,)^2\cdot 5z+3\cdot 2y\cdot (5z\,)^2=-60y^{\,2}z+150y z^{\,2},\)

верное равенство.

 

В итоге мы получили равенство

\(\displaystyle (2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}\)

при \(\displaystyle a=2y\) и \(\displaystyle b=5z.\)

Следовательно,

\(\displaystyle (2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3=(a-b\,)^3\)

при \(\displaystyle a=2y\) и \(\displaystyle b=5z,\) то есть

\(\displaystyle (2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3=(2y-5z\,)^3.\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=({\bf 2y-5z}\,)^3.\)

Ответ: \(\displaystyle ({\bf 2y-5z}\,)^3.\)