Теория: Нахождение разности кубов

Перепишем формулу "разность кубов" в обратном порядке:

\(\displaystyle (a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.\)

Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ \color{blue}{(x-10)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{(x^{\, 2}+10x+100)} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}-b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)

Заметим, что поскольку \(\displaystyle 100=10^2,\) то можно записать:

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ \color{blue}{(x-10)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{(x^{\, 2}+10x+10^2)} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}-b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)

Теперь можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:

\(\displaystyle \begin{aligned}\color{blue}{(x-10)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\ \color{green}{(x^{\, 2}+10x+10^2)}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}. \end{aligned}\)

Данные равенства верны при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=10.\) Cледовательно,

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ {\small |\;|}\\ \color{blue}{(x-10)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ {\small |\;|}\\ \color{green}{(x^{\, 2}+10x+10^2)} \end{array} \begin{array}{c} =\\ \phantom{=}\\ = \end{array} \begin{array}{c} \color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\ {\small |\;|}\\ \color{red}{x^{\,3}-10^3} \end{array} \end{aligned}\)

Таким образом,

\(\displaystyle (x-10)(x^{\, 2}+10x+10^2)=x^{\,3}-10^3.\)

Ответ: \(\displaystyle {\bf x}^{\,3}-{\bf 10}^3.\)