Skip to main content

Теория: Нахождение разности кубов

Задание

Найдите произведение выражений, используя формулу "разность кубов":
 

\(\displaystyle (7s-t\,)(49s^{\,2}+7st+t^{\,2})=\) 
343s^3-t^3


Для ввода степени используйте специальное меню, расположенное справа в ячейке ввода.
Числа запишите без степени, то есть, например, вместо \(\displaystyle 2^3\) следует вводить \(\displaystyle 8.\)

Решение

Правило

Разность кубов

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}).\)

Перепишем формулу "разность кубов" в обратном порядке:

\(\displaystyle (a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.\)

 

Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a-b\,)}}\\\color{blue}{(7s-4t\,)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\\color{green}{(49s^{\,2}+28st+16t^{\,2})}\end{array}\begin{array}{l}=a^{\,3}-b^{\,3},\\=\,?\end{array}\end{aligned}\)


Заметим, что поскольку \(\displaystyle 49s^{\,2}=7^2s^{\,2}=(7s\,)^2\) и \(\displaystyle 16t^{\,2}=4^2t^{\,2}=(4t\,)^2,\) то можно записать:

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a-b\,)}}\\\color{blue}{(7s-4t\,)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\\color{green}{((7s\,)^2+28st+(4t\,)^2)}\end{array}\begin{array}{l}=a^{\,3}-b^{\,3},\\=\,?\end{array}\end{aligned}\)


Теперь можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:

\(\displaystyle \begin{aligned}\color{blue}{(7s-4t\,)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\\color{green}{((7s\,)^2+28st+(4t\,)^2)}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}.\end{aligned}\)


Данные равенства верны при \(\displaystyle a=7s\) и \(\displaystyle b=4t.\) Cледовательно,

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a-b\,)}}\\{\small |\;|}\\\color{blue}{(7s-4t\,)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\{\small |\;|}\\\color{green}{((7s\,)^2+28st+(4t\,)^2)}\end{array}\begin{array}{c}=\\\phantom{=}\\=\end{array}\begin{array}{c}\color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\{\small |\;|}\\\color{red}{(7s\,)^3-(4t\,)^3}.\end{array}\end{aligned}\)


И, поскольку \(\displaystyle (7s\,)^3=7^3s^{\,3}=343s^{\,3}\) и \(\displaystyle (4t\,)^3=4^3t^{\,3}=64t^{\,3},\) то

\(\displaystyle (7s\,)^3-(4t\,)^3=343s^{\,3}-64t^{\,3}.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (7s-4t\,)(49s^{\,2}+28st+16t^{\,2})=343s^{\,3}-64t^{\,3}.\)

Ответ: \(\displaystyle 343s^{\,3}-64t^{\,3}.\)
 

Замечание / комментарий

Неполный квадрат суммы

Выражение

\(\displaystyle a^{\,2}+ab+b^{\,2}\)

называется неполным квадратом суммы параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)