Вынесите общий множитель и разложите получившееся выражение на множители:
Сначала найдем общий множитель.
1. Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов:
- \(\displaystyle 32=2^5\)
- \(\displaystyle 24=2^3\cdot 3\)
- \(\displaystyle 112=2^4\cdot 7\)
- \(\displaystyle 84=2^2\cdot 3\cdot 7\)
Из разложения на простые множители следует, что наибольший общий делитель равен \(\displaystyle 2^2=4{\small .}\)
2. Выберем общие переменные у выражений \(\displaystyle x^{\,10}y^{\,9}z^{\,8}, \, x^{\,5}y^{\,5}z^{\,14}, \,x^{\,8}y^{\,4}z^{\,5}\) и \(\displaystyle x^{\,3}z^{\,11}\) с наименьшим показателем степени, – это \(\displaystyle x^{\,3}\) и \(\displaystyle z^{\,5} {\small .}\)
Таким образом, общий множитель равен \(\displaystyle 4x^{\,3}z^{\,5}{\small .}\) Вынесем его за скобки:
\(\displaystyle 32x^{\,10}y^{\,9}z^{\,8}+24x^{\,5}y^{\,5}z^{\,14}+112x^{\,8}y^{\,4}z^{\,5}+84x^{\,3}z^{\,11}=\)
\(\displaystyle =4x^{\,3}z^{\,5}\,(8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9}+28x^{\,5}y^{\,4}+21z^{\,6}){\small .}\)
Из выражения в скобках видно, что каждая переменная встречается в трех членах выражения и, следовательно, мы не можем выбрать переменную, которая встречается в половине членов, то есть дважды. В этом случае выберем любую переменную, например, \(\displaystyle x\):
\(\displaystyle 8\color{red}{x^{\,7}}y^{\,9}z^{\,3}+6\color{red}{x^{\,2}}y^{\,5}z^{\,9}+28\color{red}{x^{\,5}}y^{\,4}+21z^{\,6}{\small .}\)
Сгруппируем член, в который входит переменная \(\displaystyle x\) в самой большой степени (это \(\displaystyle 8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}\)), и любой другой член, содержащий данную переменную (например, \(\displaystyle 6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9}\)), в одни скобки, а все остальные члены – в другие:
\(\displaystyle (8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9})+(28x^{\,5}y^{\,4}+21z^{\,6}) {\small .}\)
Найдем общий множитель для выражения в первых скобках \(\displaystyle (8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9}) {\small .}\)
- Наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(8,6)=2 {\small .}\)
- Выберем общие переменные у выражений \(\displaystyle x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}\) и \(\displaystyle x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9}\) с наименьшим показателем степени, – это \(\displaystyle x^{\,2}, \, y^{\,5}\) и \(\displaystyle z^{\,3} {\small .}\)
Значит, общий множитель для \(\displaystyle (8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9})\) равен \(\displaystyle 2x^{\,2}y^{\,5}z^{\,3} {\small .}\) Вынося его за скобки, имеем:
\(\displaystyle 8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9}=2x^{\,2}y^{\,5}z^{\,3}\,(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6}) {\small .}\)
Далее найдем общий множитель для выражения во вторых скобках \(\displaystyle (28x^{\,5}y^{\,4}+21z^{\,6}) {\small .}\)
- Наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(28,21)=7{\small .}\)
- Очевидно, что выражения \(\displaystyle x^{\,5}y^{\,4}\) и \(\displaystyle z^{\,6}\) не содержат общих переменных.
Значит, общий множитель для \(\displaystyle (28x^{\,5}y^{\,4}+21z^{\,6})\) равен \(\displaystyle 7 {\small .}\) Вынося его за скобки, имеем:
\(\displaystyle 28x^{\,5}y^{\,4}+21z^{\,6}=7(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6}){\small .}\)
Возвращаясь к исходному выражению, получаем:
\(\displaystyle (8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9})+(28x^{\,5}y^{\,4}+21z^{\,6})= 2x^{\,2}y^{\,5}z^{\,3}\,(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6})+7(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6}){\small .}\)
Заметим, что в обеих частях выражения есть общий множитель \(\displaystyle (4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6}) {\small .}\) Значит, его также можно вынести за скобки:
\(\displaystyle 2x^{\,2}y^{\,5}z^{\,3}\,\color{blue}{(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6})}+7\color{blue}{(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6})}=\color{blue}{(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6})} (2x^{\,2}y^{\,5}z^{\,3}+7) {\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle 32x^{\,10}y^{\,9}z^{\,8}+24x^{\,5}y^{\,5}z^{\,14}+112x^{\,8}y^{\,4}z^{\,5}+84x^{\,3}z^{\,11}=\)
\(\displaystyle ={\bf 4}{\pmb x}^{\,{\bf 3}}{\pmb z}^{\,{\bf 5}}\,(8x^{\,7}y^{\,9}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,5}z^{\,9}+28x^{\,5}y^{\,4}+21z^{\,6})=\)
\(\displaystyle ={\bf 4}{\pmb x}^{\,{\bf 3}}{\pmb z}^{\,{\bf 5}}\,({\bf 4}{\pmb x}^{\,{\bf 5}}{\pmb y}^{\,{\bf 4}}+{\bf 3}{\pmb z}^{\,{\bf 6}})({\bf 2}{\pmb x}^{\,{\bf 2}}{\pmb y}^{\,{\bf 5}}{\pmb z}^{\,{\bf 3}}+{\bf 7}) {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 4x^{\,3}z^{\,5}(4x^{\,5}y^{\,4}+3z^{\,6})(2x^{\,2}y^{\,5}z^{\,3}+7){\small .}\)