Skip to main content

Теория: Медиана в прямоугольном треугольнике (короткая версия)

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) точки \(\displaystyle L{\small,}\) \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) являются серединами сторон \(\displaystyle AB{\small,}\) \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AC\) соответственно. Отрезки \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BN\) перпендикулярны и пересекаются в точке \(\displaystyle P{\small.}\) Найдите длину \(\displaystyle CL{\small,}\) если \(\displaystyle AB=14{\small.}\)

\(\displaystyle CL=\)

Решение

\(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle AB=14{\small;}\)
  • \(\displaystyle AM{\small,}\) \(\displaystyle BN{\small,}\) \(\displaystyle CL\)– медианы треугольника \(\displaystyle ABC{\small;}\)
  • \(\displaystyle P\) – точка пересечения медиан;
  • \(\displaystyle AM \perp BN{\small.}\)

Требуется найти длину медианы \(\displaystyle CL{\small.}\)

 

По теореме о медианах треугольника

\(\displaystyle \frac{CP}{PL}=\frac{2}{1}{\small.}\)

Пусть \(\displaystyle CP=2t{\small,}\) \(\displaystyle PL=t{\small.}\) Тогда

\(\displaystyle CL=CP+PL=2t+t=3t{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle CL=3 \cdot PL{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle APB{\small.}\)

  • \(\displaystyle AM \perp BN{\small,}\) значит, \(\displaystyle \angle APB=90^{\circ}{\small.}\) То есть

\(\displaystyle \triangle APB\) – прямоугольный.

  • \(\displaystyle L\) – середина стороны \(\displaystyle AB{\small,}\) значит,

\(\displaystyle PL\) – медиана прямоугольного треугольника \(\displaystyle APB{\small,}\) проведённая к гипотенузе \(\displaystyle AB{\small.}\)

Свойство прямоугольного треугольника

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Следовательно,

\(\displaystyle PL= \frac{1}{2} \cdot AB=\frac{1}{2} \cdot 14=7{\small.}\)

В результате получаем:

\(\displaystyle CL=3 \cdot PL=3 \cdot 7=21{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle CL=21{\small.}\)