Skip to main content

Теория: 05 Свойство биссектрисы треугольника о пропорциональных отрезках-2 (короткая версия)

Задание

Биссектриса угла равнобедренного треугольника делит его боковую сторону на отрезки с длинами \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 8{\small,}\) считая от основания. Найдите периметр этого треугольника.

Решение

По условию задачи выполним построение.

Пусть \(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle AB=BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle AD\) – биссектриса;
  • \(\displaystyle BD=8{\small;}\)
  • \(\displaystyle DC=3{\small.}\)

Требуется найти периметр треугольника.

 

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC{\small.}\)

Найдём стороны треугольника.

\(\displaystyle AB=BC=11{\small.}\)

Согласно свойству биссектрисы треугольника

\(\displaystyle \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \frac{AB}{AC}=\frac{8}{3}{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle AB=8t{\small,}\) \(\displaystyle AC=3t{\small.}\)

 

Так как \(\displaystyle AB=11{\small,}\) то

\(\displaystyle 8t=11{\small;}\)

\(\displaystyle t=\frac{11}{8}{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle AC=3t=3 \cdot \frac{11}{8}=\frac{33}{8}=4{,}125{\small.}\)

 

В результате получаем:

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC=11+11+4{,}125=26{,}125{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 26{,}125{\small.}\)