Skip to main content

Теория: 05 Свойство биссектрисы треугольника о пропорциональных отрезках-2 (короткая версия)

Задание

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении \(\displaystyle 47:14{\small,}\) считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна \(\displaystyle 28{\small.}\)

Решение

По условию задачи выполним построение.

Пусть \(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle BC=28{\small;}\)
  • \(\displaystyle AA_1{\small,}\) \(\displaystyle BB_1{\small,}\) \(\displaystyle CC_1\) – биссектрисы;
  • \(\displaystyle O\) – точка пересечения биссектрис;
  • \(\displaystyle \frac{AO}{OA_1}=\frac{47}{14}{\small,}\) то есть

\(\displaystyle AO=47t{\small,}\) \(\displaystyle OA_1=14t{\small.}\)

Требуется найти периметр треугольника.

 

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+AC+BC{\small.}\)

 

Вспомним свойство биссектрисы треугольника.

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABA_1{\small.}\)

\(\displaystyle BO\) – биссектриса.

По свойству биссектрисы треугольника:

\(\displaystyle \frac{AB}{BA_1}=\frac{AO}{OA_1}=\frac{47}{14}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle AB=47a{\small,}\) \(\displaystyle BA_1=14a{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ACA_1{\small.}\)

\(\displaystyle CO\) – биссектриса.

По свойству биссектрисы треугольника:

\(\displaystyle \frac{AC}{CA_1}=\frac{AO}{OA_1}=\frac{47}{14}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle AC=47b{\small,}\) \(\displaystyle CA_1=14b{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC{\small.}\)

  • \(\displaystyle AB=47a{\small;}\)
  • \(\displaystyle AC=47b{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC=BA_1+CA_1{\small,}\) то есть

\(\displaystyle BC=14a+14b=14 \cdot (a+b){\small.}\)

По условию \(\displaystyle BC=28{\small,}\) значит,

\(\displaystyle 14 \cdot (a+b)=28{\small;}\)

\(\displaystyle (a+b)=2{\small.}\)

В результате получаем:

\(\displaystyle\begin{aligned}P_{\triangle ABC}&=AB+AC+BC=\\&=47a+47b+28=47 \cdot (a+b)+28{\small.}\end{aligned}\)

Подставим \(\displaystyle (a+b)=2{\small:}\)

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=47 \cdot 2 +28=94+28=122{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle 122{\small.}\)