Skip to main content

Теория: Задачи. Продолжение (короткая версия)

Задание

В трапеции \(\displaystyle ABCD{\small:}\)

  • основание \(\displaystyle BC=6\small,\)
  • боковая сторона \(\displaystyle CD=4\small,\)
  • \(\displaystyle \angle BAD=60^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle BCD=105^{\circ}\small.\)

Найдите среднюю линию трапеции.

6+\frac{2\sqrt{6}}{3}
Решение

Построим рисунок к задаче:

Чтобы найти среднюю линию, сначала найдем основания трапеции.
 

1. Проведем через точку \(\displaystyle B\) прямую, параллельную \(\displaystyle CD\small.\)

Отметим точку \(\displaystyle K\) – точку пересечения этой прямой с основанием \(\displaystyle AD\small.\)
 

В четырехугольнике \(\displaystyle BCDK\) противоположные стороны параллельны.

Значит, \(\displaystyle BCDK\) – параллелограмм. Тогда

  • противоположные углы равны: \(\displaystyle \angle BKD=\angle BCD=105^{\circ}\small,\)
  • противоположные стороны равны: \(\displaystyle BK=CD=4\small.\)


В треугольнике \(\displaystyle ABK\) можно найти два угла:

  • \(\displaystyle \angle BAK=60^{\circ}\small,\)
  • \(\displaystyle \angle BKA=180^{\circ}-\angle BKD=75^{\circ}\)

Тогда третий угол равен:

\(\displaystyle \angle ABK=180^{\circ}-60^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ}\small.\)

 

Тогда, используя теорему синусов для треугольника \(\displaystyle ABK\small,\) найдем \(\displaystyle AK{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{AK}{\sin45^{\circ}}=\frac{BK}{\sin60^{\circ}}\small,\)

\(\displaystyle AK=\frac{BK\cdot\sin45^{\circ}}{\sin60^{\circ}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}\small.\)

То есть основания трапеции:

\(\displaystyle BC=6\) и \(\displaystyle AD=AK+KD=\frac{4\sqrt{6}}{3}+6\small.\)
 

2. Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований:

\(\displaystyle \frac{BC+AD}{2}=\frac{6+\frac{4\sqrt{6}}{3}+6}{2}=6+\frac{2\sqrt{6}}{3}\small.\)
 

Ответ: \(\displaystyle 6+\frac{2\sqrt{6}}{3}\small.\)