На сторонах \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) треугольника \(\displaystyle ABC\) отметили соответственно точки \(\displaystyle K\) и \(\displaystyle L\small.\) Прямая \(\displaystyle KL\) пересекает продолжение стороны \(\displaystyle AC\) за точку \(\displaystyle C\) в точке \(\displaystyle M\small.\) Через \(\displaystyle C\) провели прямую, параллельную \(\displaystyle AB\small,\) она пересекает \(\displaystyle KL\) в точке \(\displaystyle X\small.\) Найдите \(\displaystyle AB\small,\) если \(\displaystyle CX=2,\,AC:CM=2,\,BL:LC=0{,}5\small.\)
Параллельные отрезки \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CX\) образуют несколько пар подобных треугольников. Отметим равные углы при параллельных прямых. Получаем пары подобных треугольников:
Используя эти подобия, найдем отрезки \(\displaystyle AK\) и \(\displaystyle KB\small.\) |  |
Треугольники \(\displaystyle AKM\) и \(\displaystyle CXM\) подобны. Следовательно, \(\displaystyle AK:CX=AM:CM\small.\) По условию \(\displaystyle AC:CM=2\small,\) тогда \(\displaystyle AM:CM=3\small.\) |  |
То есть
\(\displaystyle AK:CX=AM:CM=3\)
и
\(\displaystyle AK=3\cdot CX=3\cdot 2=6\small.\)
Треугольники \(\displaystyle KLB\) и \(\displaystyle XLC\) подобны. Следовательно, \(\displaystyle BK:CX=BL:LC=0{,}5\small.\) То есть \(\displaystyle BK=0{,}5 \cdot CX=0{,}5\cdot 2=1\small.\) |  |
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle AB=AK+KB=6+1=7\small.\)
Ответ: \(\displaystyle AB=7\small.\)