При каких значениях параметра \(\displaystyle p {\small }\) квадратное уравнение
\(\displaystyle 4x^2 - 4px + p^2 - 36 = 0\)
имеет два различных корня? Найдите эти корни.
При \(\displaystyle p \in\)
уравнение имеет два различных корня
\(\displaystyle x_1=\) и \(\displaystyle x_2=\) \(\displaystyle {\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle 4x^2 - 4px + p^2 - 36\) является квадратным относительно неизвестной \(\displaystyle x{ \small }\) при любых значениях \(\displaystyle a{ \small .}\)
Вычислим его дискриминант.
\(\displaystyle {\rm D} =16 \cdot 36{ \small .}\)
Выделим сначала коэффициенты данного квадратного уравнения:
\(\displaystyle \red{4}x^2 \color {blue} {- 4p} x \color {green}{+ (p^2 - 36)} =0 { \small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \)\(\displaystyle a=\red{4} { \small ,} \,\, b=\color {blue} {-4p} { \small ,} \,\, c=\color {green}{p^2 - 36} { \small .}\)
Тогда
\(\displaystyle {\rm D}= (-4p)^2 - 4\cdot 4\cdot (p^2 - 36) = 16p^2 - 16p^2 + 16\cdot36= 16\cdot36{ \small .}\)
Видим, что дискриминант не зависит от \(\displaystyle p\) и положителен. Значит, при любых значениях \(\displaystyle p\) уравнение имеет два различных корня.
Найдём их.
\(\displaystyle {x_1} = \frac{p + 6}{2}{ \small }\) и \(\displaystyle {x_2} = \frac{p - 6}{2}{ \small. }\)
Теперь можем записать ответ:
при \(\displaystyle p \in(-\infty;+\infty)\) уравнение имеет два различных корня \(\displaystyle {x_1} = \frac{p + 6}{2}{ \small }\) и \(\displaystyle {x_2} = \frac{p - 6}{2}{ \small. }\)