Skip to main content

Теория: Задачи - 2 (короткая версия)

Задание

Для четырехугольника \(\displaystyle ABCD\) нашлась такая точка \(\displaystyle M\small,\) что \(\displaystyle \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\small.\)

Что можно сказать про \(\displaystyle ABCD?\)

Решение

Упростим выражение

\(\displaystyle \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\small.\)

Для этого перенесем \(\displaystyle \overrightarrow{MB}\) влево, а \(\displaystyle \overrightarrow{MA}\) вправо:

\(\displaystyle \overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MA}\small.\)

Выполняя вычитание векторов справа и слева, получаем:

\(\displaystyle \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\small.\)

Определение

Два вектора равны, если они сонаправлены и их длины равны.

Получили, что \(\displaystyle \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\small.\) Тогда \(\displaystyle \overrightarrow{AD}\) и \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) сонаправлены и их длины равны.

1. Векторы \(\displaystyle \overrightarrow{AD}\) и \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) сонаправлены. Тогда

  • прямые \(\displaystyle {AD}\) и \(\displaystyle {BC}\) параллельны,
  • точки \(\displaystyle D\) и \(\displaystyle C\) лежат по одну сторону от \(\displaystyle AB\small.\)

2. Длины векторов \(\displaystyle \overrightarrow{AD}\) и \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) равны. То есть

  • длины отрезков \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) равны.

 

    Тогда в четырехугольнике \(\displaystyle ABCD\) противоположные стороны \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) параллельны и равны.

    То есть \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм.


    Ответ: \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм.