Skip to main content

Теория: Деление многочлена на многочлен с остатком (короткая версия)

Задание

Разделите многочлен \(\displaystyle x^{\,2}+3x+5\) на многочлен \(\displaystyle x+1\) в столбик:
 

\(\displaystyle -\)\(\displaystyle \phantom{\,\,} x^{\,2}+3x+5\)\(\displaystyle x+1\)
x^2+x
x+2
 \(\displaystyle \phantom{ x^{\,2}} -\)
2x+5
2x+2
  \(\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)
3


и запишите разложение:

\(\displaystyle x^{\,2}+3x+5=(x+1)\cdot \big(\,\)
x+2
\(\displaystyle \,\big)+\)
3
                                                                               \(\displaystyle \overset{неполное}{\footnotesize{частное}}\)                 \(\displaystyle \overset{остаток}{\footnotesize{\phantom{x}}}\)
Решение

Разделим многочлен \(\displaystyle x^{\,2}+3x+5\) на многочлен \(\displaystyle x+1\) в столбик.

Одночлен старшей степени у делителя \(\displaystyle x+1\) – это одночлен \(\displaystyle \color{red}{x}{\small .}\)

Шаг 1. Деление многочлена \(\displaystyle {\small \color{blue}{x^{\,2}+3x+5}}\)

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \(\displaystyle \color{blue}{x^{\,2}}+3x+5{\small ,}\) это одночлен \(\displaystyle \color{blue}{x^{\,2}}{\small .}\)

2. Делим одночлен \(\displaystyle \color{blue}{x^{\,2}}\) на одночлен \(\displaystyle \color{red}{x}\,{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{ \color{blue}{x^{\,2}} }{\color{red}{x}}=\color{blue}{x}{\small .}\)

Записываем результат деления как первое слагаемое частного:

\(\displaystyle \small \color{blue}{x^{\,2}}+3x+5\)\(\displaystyle \small x+1\)
 
\(\displaystyle \small \color{blue}{x}\,?\)

3. Вычитаем в столбик из многочлена \(\displaystyle \color{blue}{x^{\,2}}+3x+5\) многочлен \(\displaystyle \color{blue}{x}\cdot (x+1)=x^{\,2}+x \,{\small :}\)

\(\displaystyle -\)\(\displaystyle \small \color{blue}{x^{\,2}}+3x+5\)\(\displaystyle \small x+1\)
\(\displaystyle \small x^{\,2}+x\)
\(\displaystyle \small \color{blue}{x}\,?\)
 \(\displaystyle \small 2x+5\)

Получаем многочлен \(\displaystyle 2x+5{\small . }\)

Шаг 2. Деление многочлена \(\displaystyle {\small \color{green}{2x+5}}\)

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \(\displaystyle \color{green}{2x}+5{\small ,}\) это \(\displaystyle \color{green}{2x}{\small .}\)

2. Делим одночлен \(\displaystyle \color{green}{2x}\) на одночлен \(\displaystyle \color{red}{x}\,{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{\color{green}{2x}}{\color{red}{x}}=\color{green}{2}{\small .}\)

Записываем результат как второе слагаемое частного со знаком \(\displaystyle "+"\):

\(\displaystyle -\)\(\displaystyle \small x^{\,2}+3x+5\)\(\displaystyle \small x+1\)
\(\displaystyle \small x^{\,2}+x\)
\(\displaystyle \small x\color{green}{+2}\)
 \(\displaystyle \small \color{green}{ 2x}+5\)

3. Вычитаем в столбик из многочлена \(\displaystyle \color{green}{2x}+5\) многочлен \(\displaystyle \color{green}{2}\cdot(x+1)=2x+2 {\small :}\)

\(\displaystyle -\)\(\displaystyle \small x^{\,2}+3x+5\)\(\displaystyle \small x+1\)
\(\displaystyle \small x^{\,2}+x\)
\(\displaystyle \small x\color{green}{+2}\)
 \(\displaystyle \phantom{1} -\)\(\displaystyle \small \color{green}{ 2x}+5\)
 \(\displaystyle \small 2x+2\)
 \(\displaystyle \small 3\)

Получили \(\displaystyle 3\)– многочлен меньшей степени, чем делитель \(\displaystyle \small x+1 {\small .}\) Значит, процесс деления закончен.

Таким образом,

\(\displaystyle -\)\(\displaystyle \color{blue}{ x^{\,2}+3x+5}\)\(\displaystyle x+1\)
\(\displaystyle x^{\,2}+x\)
\(\displaystyle x+2\)
 \(\displaystyle \phantom{1\,} -\)\(\displaystyle \color{green}{ 2x+5}\)
 \(\displaystyle 2x+2\)
 \(\displaystyle 3\,\)

и

\(\displaystyle x^{\,2}+3x+5=(x+1)\cdot ({\bf x+2})+\bf 3{\small .}\)