Skip to main content

Теория: Задачи посложнее на ввод переменной -1 (короткая версия)

Задание

Вершины \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) равностороннего треугольника \(\displaystyle BMN\) лежат соответственно на сторонах \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CD\) квадрата \(\displaystyle ABCD\) со стороной \(\displaystyle 4\small.\) Найдите \(\displaystyle MN\small.\)

\(\displaystyle MN=\)
4(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}
Решение

Пусть \(\displaystyle AM=x{\small.}\)

Далее, чтобы решить задачу:

  • выразим все стороны равностороннего треугольника \(\displaystyle BMN\) через \(\displaystyle x{\small,}\)
  • найдем \(\displaystyle x{ \small ,}\)
  • найдем длину отрезка \(\displaystyle MN{\small.}\)

 

    1. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle BAM\) и \(\displaystyle BCN\small.\) Они имеют две пары равных сторон:

    \(\displaystyle BM=BN\) и \(\displaystyle BA=BC\small.\)

    То есть треугольники \(\displaystyle BAM\) и \(\displaystyle BCN\) равны по гипотенузе и катету. Значит,

    \(\displaystyle CN=AM=x{\small.}\)

    Выразим через \(\displaystyle x\)  отрезки \(\displaystyle MD\) и \(\displaystyle ND{\small:}\)

    \(\displaystyle MD=ND=CD-CN=4-x{\small.}\)

     

    Выразим через \(\displaystyle x\)  отрезки \(\displaystyle BM{\small,}\) \(\displaystyle BN\) и \(\displaystyle MN\small.\)

    По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Значит,

    • \(\displaystyle BM^2=AB^2+AM^2=4^2+x^2{\small,}\) то есть \(\displaystyle BM=\sqrt{16+x^2}\small,\\ \)
    • \(\displaystyle BN^2=BC^2+CN^2=4^2+x^2{\small,}\) то есть \(\displaystyle BN=\sqrt{16+x^2}\small,\\ \)
    • \(\displaystyle MN^2=DM^2+DN^2=(4-x)^2+(4-x)^2{\small,}\) то есть \(\displaystyle MN=\sqrt{2(4-x)^2}\small.\)

     

    2. По условию \(\displaystyle BNM\) – равносторонний. Значит,

    \(\displaystyle BM=MN\small,\)

    \(\displaystyle \sqrt{16+x^2}=\sqrt{2(4-x)^2}\small.\)

    Упростим выражение. Если равны корни, то равны и подкоренные выражения:

    \(\displaystyle 16+x^2=2(4-x)^2\small,\)

    \(\displaystyle 16+x^2=2(16-8x+x^2)\small,\)

    \(\displaystyle x^2-16x+16=0\small.\)

    Корни этого квадратного уравнения:

    \(\displaystyle x_1=8-4\sqrt{3}\)      и      \(\displaystyle x_2=8+4\sqrt{3}\small.\)

    Так как \(\displaystyle x\) меньше \(\displaystyle 4\small,\) то подходит только меньший корень:

    \(\displaystyle x=8-4\sqrt{3}\small.\)

    3. Значит,

    \(\displaystyle MN=\sqrt{2(4-(8-4\sqrt{3}))^2}=\sqrt{2(4(\sqrt{3}-1))^2}=4(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}\small.\)


    Ответ: \(\displaystyle MN=4(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}\small.\)