На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 5\small.\) Найдите основание треугольника.
Обозначим вершины треугольника и точки пересечения сторон с окружностью.
По условию \(\displaystyle AB=BC=3+5=8\small.\) Также \(\displaystyle BC\) – диаметр окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \(\displaystyle 90^{\circ}\small.\) То есть \(\displaystyle \angle BKC=90^{\circ}\small.\) |  |
Напомним, что по теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Используя теорему Пифагора, последовательно найдем длины отрезков \(\displaystyle KC\) и \(\displaystyle AC\small.\)
- По теореме Пифагора для треугольника \(\displaystyle CKB\) находим \(\displaystyle CK{\small:}\)
\(\displaystyle BC^2=CK^2+BK^2\small,\)
\(\displaystyle CK^2=BC^2-BK^2=8^2-5^2=39\small,\)
\(\displaystyle CK=\sqrt{39}\small.\)
- По теореме Пифагора для треугольника \(\displaystyle AKC\) находим \(\displaystyle AC{\small:}\)
\(\displaystyle AC^2=AK^2+CK^2=3^2+(\sqrt{39})^2=48\small,\)
\(\displaystyle AC=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 4\sqrt{3}\small.\)