Хорды \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) окружности радиуса \(\displaystyle 5\) пересекаются под прямым углом. Найдите \(\displaystyle BD{\small,}\) если \(\displaystyle AC = 4{\small.}\)
Выполним дополнительное построение. Проведем через \(\displaystyle D\) диаметр окружности. Обозначим второй конец этого диаметра \(\displaystyle X{\small.}\) Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны \(\displaystyle 90^{\circ}{\small.}\) Тогда: \(\displaystyle \angle DCX=\angle DBX=90^{\circ}{\small.}\) |  |
Значит, хорды \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CX\) перпендикулярны хорде \(\displaystyle CD\small.\) То есть \(\displaystyle AB \parallel CX{\small.}\) Параллельные прямые высекают равные дуги на окружности: \(\displaystyle {\small \smile }AC={\small \smile }BX{\small.}\) Тогда и соответствующие этим дугам хорды равны \(\displaystyle BX=AC=4\small.\) |  |
В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle DBX\) известны катет \(\displaystyle BX=4\) и гипотенуза \(\displaystyle DX=2R=10\small.\) По теореме Пифагора находим второй катет: \(\displaystyle BD^2=DX^2-BX^2=10^2-4^2=84 \small,\) \(\displaystyle BD=\sqrt{84}=2\sqrt{21}\small.\) |  |
Ответ: \(\displaystyle BD=2\sqrt{21}\small.\)