В пятиугольнике \(\displaystyle ABCDE\) с прямым углом при вершине \(\displaystyle A\) равны стороны \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle CD{\small .}\)
Перпендикулярные отрезки \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle CE\) пересекаются в точке \(\displaystyle O\).
Известны длины отрезков: \(\displaystyle AB=7{\small ,\;}BD=14{\small .}\)
Найти величину угла пятиугольника при вершине \(\displaystyle E{\small ,}\) если известна величина его части: \(\displaystyle \angle AEC=92\degree {\small .}\)
\(\displaystyle \angle AED=\)\(\displaystyle \degree \)
Для решения задачи нужно найти угол \(\displaystyle DEO~-\) неизвестную часть угла \(\displaystyle AED{\small .}\)
Очевидных способов сделать это не находится. Поэтому решение начинаем с извлечения всей доступной информации из имеющихся данных.
По условию отрезок \(\displaystyle CO\) перпендикулярен отрезку \(\displaystyle BD{ \small ,}\) а стороны \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle CD\) треугольника \(\displaystyle BCD\) равны. Значит, \(\displaystyle CO~-\) высота равнобедренного треугольника \(\displaystyle BCD{\small ,}\) проведённая к его основанию.
В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают.
Поскольку отрезок \(\displaystyle CO\) является медианой, отрезки \(\displaystyle BO\) и \(\displaystyle DO\) равны.
Из точки \(\displaystyle B\) на прямые \(\displaystyle EA\) и \(\displaystyle EO\) опущены два перпендикуляра \(\displaystyle BA\)и \(\displaystyle BO{\small .}\) Длина первого задана в условии. Длина другого составляет половину длины отрезка \(\displaystyle BD{\small .}\)
\(\displaystyle BO=\frac{1}{2}\,BD=\frac{1}{2}\cdot 14=7=BA{\small .}\)
Получается, перпендикуляры \(\displaystyle BA\)и \(\displaystyle BO\) равны, то есть точка \(\displaystyle B\) равноудалена от прямых \(\displaystyle EA\) и \(\displaystyle EO{\small .}\)
Геометрическим местом точек угла (с внутренней областью), равноудалённых от прямых, содержащих его стороны, является биссектриса этого угла.
Прямой \(\displaystyle EB\) принадлежат две точки биссектрисы угла \(\displaystyle AEO~-\) её начало \(\displaystyle E\) и точка \(\displaystyle B\) Значит, вся биссектриса \(\displaystyle -\) часть этой прямой.
Рассмотрим два прямоугольных треугольника \(\displaystyle BEO\) и \(\displaystyle DEO\) с общей, прилежащей к прямому углу стороной \(\displaystyle EO\). Мы установили, что и другие стороны \(\displaystyle BO\) и \(\displaystyle DO{\small ,}\) прилежащие к этому углу, равны.
Треугольники равны по первому признаку, что влечёт равенство углов, расположенных напротив равных сторон:
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}BO=DO\\EO- {\small \it общая~сторона}\\{\bf\angle}BOE={\bf\angle}DOE=90\degree \end{array}{\LARGE\Rightarrow} \quad\begin{array}{ll} \\{\bf\triangle}BEO={\bf\triangle}DEO\\{\small \it (по~первому~признаку)} \end{array}{\LARGE\Rightarrow}\quad \angle BEO=\angle DEO\right.\)
Установлено, что искомый угол составлен из трёх равных частей \(\displaystyle AEB{\small ,\;}BEO\) и \(\displaystyle DEO{ \small ,}\) первые две из которых составляют угол \(\displaystyle AEO\) величиной \(\displaystyle 92\degree {\small .}\)
Величина одной части равна половине величины угла \(\displaystyle AEO{\text :}\)
\(\displaystyle \angle BEO=\frac{1}{2}\,\angle AEO=\frac{1}{2}\cdot 92\degree =46\degree {\small .}\)
А величина угла \(\displaystyle AED\) в три раза больше:
\(\displaystyle \angle AED=3\cdot 46\degree =138\degree {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle AED=138\degree {\small .}\)