В окружности с центром \(\displaystyle O\) проведены перпендикулярные хорды \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\small,\) пересекающиеся в точке \(\displaystyle M\small.\) Обозначим векторы: \(\displaystyle \overrightarrow{OA}=\vec{a},\,\overrightarrow{OB}=\vec{b},\,\overrightarrow{OC}=\vec{c},\,\overrightarrow{OD}=\vec{d}\small.\) Выразите вектор \(\displaystyle \overrightarrow{OM}\) через \(\displaystyle \vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}\) и \(\displaystyle \vec{d}\small.\)
Отметим середины хорд \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) – точки \(\displaystyle K\) и \(\displaystyle L\small.\) Чтобы решить задачу:
|  |
1. Чтобы найти \(\displaystyle \overrightarrow{OK}\) и \(\displaystyle \overrightarrow{OL}\small,\) воспользуемся правилом:
Вектор медианы треугольника равен полусумме векторов его сторон, выходящих из той же вершины: \(\displaystyle \vec{m}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\small.\) |  |
Тогда
- \(\displaystyle \overrightarrow{OK}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\small,\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{OL}=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}{2}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}\small.\)
2. Радиус, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей. То есть
\(\displaystyle \angle MKO=\angle MLO=90^{\circ}\small.\)
Тогда \(\displaystyle KMLO\) – прямоугольник. Значит, \(\displaystyle \overrightarrow{KM}=\overrightarrow{OL}\) и
\(\displaystyle \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OL}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}+\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{2}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{d}\small.\)