Найдите косинусы углов треугольника, вершинами которого являются точки \(\displaystyle A(-2;4)\small,\) \(\displaystyle B(2;8)\) и \(\displaystyle C(7;-2)\small.\)
Косинус угла \(\displaystyle \alpha\) между ненулевыми векторами \(\displaystyle \vec{a}(x_1;\,y_1)\) и \(\displaystyle \vec{b}(x_2;\,y_2)\) равен
\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\small.\)
Тогда, чтобы найти углы треугольника:
- определим координаты векторов, соответствующих сторонам треугольника;
- найдем косинусы углов треугольника и сами углы.
- \(\displaystyle \overrightarrow{AB}( 2-(-2); 8-4)=\overrightarrow{AB}(4;4)\small,\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{AC}( 7-(-2); -2-4)=\overrightarrow{AC}(9;-6)\small,\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{BC}( 7-2; -2-8)=\overrightarrow{BC}(5;-10)\small.\)
\(\displaystyle \overrightarrow{BA}(-4;-4),\,\overrightarrow{CA}(-9;6)\) и \(\displaystyle \overrightarrow{CB}(-5;10)\small.\)
2. Используя правило, найдем косинусы углов и сами углы треугольника.
Для вершины \(\displaystyle \color{blue}A{\small.}\)
Координаты векторов при вершине \(\displaystyle A{\small:}\) \(\displaystyle \overrightarrow{AB}(4;4),\,\overrightarrow{AC}(9;-6)\small.\) Тогда
\(\displaystyle \cos\angle A=\frac{4\cdot9+4\cdot(-6)}{\sqrt{4^2+4^2}\cdot\sqrt{9^2+(-6)^2}}=\frac{\sqrt{26}}{26}\small.\)
Для вершины \(\displaystyle \color{blue}B{\small.}\)
Координаты векторов при вершине \(\displaystyle B{\small:}\) \(\displaystyle \overrightarrow{BC}(5;-10),\,\overrightarrow{BA}(-4;-4)\small.\) Тогда
\(\displaystyle \cos\angle B=\frac{5\cdot(-4)+(-10)\cdot(-4)}{\sqrt{5^2+(-10)^2}\cdot\sqrt{(-4)^2+(-4)^2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\small.\)
Для вершины \(\displaystyle \color{blue}C{\small.}\)
Координаты векторов при вершине \(\displaystyle C{\small:}\) \(\displaystyle \overrightarrow{CA}(-9;6),\,\overrightarrow{CB}(-5;10)\small.\) Тогда
\(\displaystyle \cos\angle C=\frac{(-9)\cdot(-5)+6\cdot10}{\sqrt{(-9)^2+6^2}\cdot\sqrt{(-5)^2+10^2}}=\frac{7\sqrt{65}}{65}\small.\)