Вершины четырехугольника \(\displaystyle ABCD\) имеют координаты: \(\displaystyle A(1;\,0),\,B(2;\,4),\,C(7;\,4),\,D(4;\,1)\small.\) Под каким углом пересекаются диагонали этого четырехугольника?
Угол между диагоналями четырехугольника равен углу между векторами, соответствующими этим диагоналям.
Тогда чтобы решить задачу:
- найдем координаты векторов, соответствующих диагоналям;
- найдем угол между этими векторами.
\(\displaystyle \overrightarrow{AC}(6;\,4)\) и \(\displaystyle \overrightarrow{BD}(2;\,-3)\small.\)
2. Чтобы найти угол между векторами, воспользуемся правилом:
Косинус угла \(\displaystyle \alpha\) между ненулевыми векторами \(\displaystyle \vec{a}(x_1;\,y_1)\) и \(\displaystyle \vec{b}(x_2;\,y_2)\) равен
\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\small.\)
Подставляя координаты векторов \(\displaystyle \overrightarrow{AC}\) и \(\displaystyle \overrightarrow{BD}\) в формулу, получаем:
\(\displaystyle \cos\color{red}{\alpha}=\frac{6\cdot2+4\cdot(-3)}{\sqrt{6^2+4^2}\cdot\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{0}{\sqrt{6^2+4^2}\cdot\sqrt{2^2+(-3)^2}}=0\small.\)
Тогда угол между диагоналями равен
\(\displaystyle \color{red}{\alpha}=90^{\circ}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \color{red}{\alpha}=90^{\circ}\small.\)