Skip to main content

Теория: Площадь (задачи посложнее)

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) известны длины двух сторон \(\displaystyle AB=3\) и \(\displaystyle AC=4{\small.}\) Найдите площадь данного треугольника, если длина медианы \(\displaystyle AM\) равна \(\displaystyle 2{,}5{\small.}\)

\(\displaystyle S_{ABC}=\)
6
Решение

Построим рисунок к задаче:

Добьемся того, чтобы все известные отрезки попали в один треугольник.

Для этого удвоим медиану \(\displaystyle AM{\small.}\) То есть на продолжении отрезка \(\displaystyle AM\) за точку \(\displaystyle M\) отметим точку \(\displaystyle D\) так, что \(\displaystyle AM=DM{\small.}\)

В четырехугольнике \(\displaystyle ABDC\) диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, \(\displaystyle ABDC\) – параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны:

  • \(\displaystyle CD=AB=4\small,\)
  • \(\displaystyle BD=AC=3\small.\)

    Заметим, что

    \(\displaystyle ABD\) – "Египетский треугольник".

    То есть прямоугольный треугольник со сторонами \(\displaystyle 3,\,4,\,5\small.\)

    Параллелограмм, в котором один из углов \(\displaystyle 90^{\circ}{ \small ,}\) является прямоугольником.

    Значит, площадь \(\displaystyle ABDC\) равна произведению соседних сторон:

    \(\displaystyle S_{ABDC}=AC\cdot AB=3\cdot4=12\small.\)

    Диагональ разбивает прямоугольник на два равных треугольника.

    Тогда площадь треугольника \(\displaystyle ABC\) равна половине площади прямоугольника \(\displaystyle ABDC{\small:}\)

    \(\displaystyle S_{ABC}=\frac{S_{ABDC}}{2}=\frac{12}{2}=6\small.\)

    Ответ: \(\displaystyle S_{ABC}=6\small.\)