На чертеже окружность с центром \(\displaystyle O{\small ,}\) на которой отмечены три точки \(\displaystyle A{\small ,\;}B\) и \(\displaystyle M{\small .}\)
Требуется найти на окружности четвёртую точку \(\displaystyle N\) так, чтобы радиус \(\displaystyle ON\) образовывал с радиусом \(\displaystyle OM\) тот же угол, что и радиус \(\displaystyle OB\) с радиусом \(\displaystyle OA{\small .}\)
Дополните описание построения, которое для этого можно провести.
Провести окружность с центром и радиусом и выбрать любую из точек её пересечения с исходной окружностью.
Добавим на рисунок ещё один радиус \(\displaystyle ON\) и отметим равные элементы.
Отрезки \(\displaystyle OA{\small ,\;}OB{\small ,\;}OM\) и \(\displaystyle ON\) равны как радиусы исходной окружности. Заключённые между радиусами углы \(\displaystyle AOB\) и \(\displaystyle MON\) должны быть равными по условию.
Значит, треугольники \(\displaystyle ABO\) и \(\displaystyle MNO\) равны по углу и двум прилежащим к нему сторонам (первому признаку равенства треугольников).
Равенство треугольников означает равенство сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle MN{\small .}\)
Построим точку, которая обеспечивает равенство треугольников \(\displaystyle ABO\) и \(\displaystyle MNO{\small .}\)
Все точки, расстояние от которых до точки \(\displaystyle M\) равно \(\displaystyle AB{\small ,}\) располагаются на окружности.
Центр этой окружности \(\displaystyle -\) точка \(\displaystyle M{\small ,}\) а радиус равен \(\displaystyle AB{\small .}\)
Построим её.
Выберем в качестве точки \(\displaystyle N\) любую из точек пересечения построенной и исходной окружностей.
Мы добились равенства треугольников \(\displaystyle ABO\) и \(\displaystyle MNO{\small .}\) Они равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).
В равных треугольниках равны углы, расположенные напротив равных сторон.
Поэтому \(\displaystyle \angle MON=\angle AOB{\small .}\)
Построение выполнено.
Ответ: провести окружность с центром \(\displaystyle M\) и радиусом \(\displaystyle AB\) и выбрать любую из точек её пересечения с исходной окружностью.