При каких значениях параметра \(\displaystyle p\) является убывающей последовательность, заданная формулой
\(\displaystyle a_n=\frac{2n-p} {n}{\small?}\)
\(\displaystyle p \in\)
По условию последовательность задана формулой \(\displaystyle n\)-го члена:
\(\displaystyle a_{\color{blue}{n}}=\frac{2\color{blue}{n}-p} {\color{blue}{n}}{\small.}\)
Требуется найти значения параметра \(\displaystyle p{\small,}\) при которых данная последовательность является убывающей.
Последовательность, в которой каждый последующий член меньше предыдущего, называется убывающей.
Если последовательность убывающая, то для любых натуральных \(\displaystyle n\) выполнено неравенство \(\displaystyle a_{n+1}<a_n{\small}\) или \(\displaystyle a_{n+1}-a_n<0{\small. }\)
Найдем, при каких значения параметра \(\displaystyle p{\small}\) неравенство
\(\displaystyle a_{n+1}-a_n<0{\small}\)
будет выполнено для любых натуральных \(\displaystyle n{\small.}\)
У нас:
\(\displaystyle a_{\color{blue}{n}}=\frac{2\color{blue}{n}-p} {\color{blue}{n}}\) и \(\displaystyle a_\color{blue}{n+1}=\frac{2(\color{blue}{n+1})-p} {\color{blue}{n+1}}=\frac{2n+2-p} {n+1}{\small.}\)
Найдем
\(\displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac{2n+2-p} {n+1}-\frac{2n-p} {n}=\frac{p} {n(n+1)}{\small.}\)
Осталось найти, при каких значениях параметра \(\displaystyle p{\small}\) неравенство
\(\displaystyle \frac{p} {n(n+1)}<0{\small}\)
будет выполнено для любых натуральных \(\displaystyle n{\small.}\)
Так как \(\displaystyle n\) натуральное число, то \(\displaystyle n\) положительно. Значит, знаменатель \(\displaystyle n(n+1)>0{\small.}\)
Умножим обе части неравенства на положительное число
\(\displaystyle \frac{p} {n(n+1)}<0\,\,\bigg| \red{\cdot n(n+1)}\)
и получим
\(\displaystyle p<0{\small.}\)
Значит, исходная поcледовательность является убывающей при \(\displaystyle p<0\) или \(\displaystyle p \in (-\infty;0){\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle p \in (-\infty;0){\small.}\)