Страховая компания в некотором регионе страхует сельские дома. Цена годового страхового полиса равна \(\displaystyle 10000\)рублей. Исследования показали, что в течение года в среднем \(\displaystyle 1 \%\) застрахованных домов подвергается небольшому ущербу (например, упавшее дерево или протекание крыши), и средняя сумма страховой выплаты при этом равна \(\displaystyle 120\)тыс. рублей. В среднем \(\displaystyle 0{,}01\%\) страхователей несёт серьёзный ущерб (пожар, обрушение дома), и средняя сумма выплаты при этом \(\displaystyle 2\)млн рублей. Считается, что за год может произойти не более чем одно происшествие с домом.
Найдите математическое ожидание случайной величины \(\displaystyle X\) «средний доход страховой компании от продажи одного полиса».
Сначала найдем распределение, а потом математическое ожидание случайной величины \(\displaystyle X\small.\)
Доход равен разности между ценой полиса и выплатой.
В случае отсутствия происшествий доход равен \(\displaystyle 10000\)рублей.
Если ущерб небольшой, доход равен \(\displaystyle 10000−120 000 = −110000\)рублей.
Если ущерб серьёзный, то доход равен \(\displaystyle 10000−2 000 000 = −1 990000\)рублей.
Упорядочивая возможные значения \(\displaystyle X\) в рублях по возрастанию, получим набор
\(\displaystyle −1 990000\)рублей, \(\displaystyle −110000\)рублей, \(\displaystyle 1 0000\)рублей.
В среднем \(\displaystyle 0{,}01\%\) страхователей несёт серьёзный ущерб. Значит, вероятность серьезного ущерба равна \(\displaystyle 0{,}0001\small.\)
В среднем \(\displaystyle 1\%\) страхователей подвергается небольшому ущербу. Значит, вероятность небольшого ущерба равна \(\displaystyle 0{,}01\small.\)
Вероятность того, что не будет выплаты, составляет тогда
\(\displaystyle 1-0{,}0001-0{,}01=0{,}9899\small.\)
Получаем распределение:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle -1990000\) | \(\displaystyle -110000\) | \(\displaystyle 10000\) |
| \(\displaystyle P(X=x)\) | \(\displaystyle 0{,}0001\) | \(\displaystyle 0{,}01\) | \(\displaystyle 0{,}9899\) |
Найдем математическое ожидание случайной величины \(\displaystyle X\small:\)
\(\displaystyle E(X)=-1990000\cdot 0{,}0001 +(-110000)\cdot 0{,}01+10000\cdot 0{,}9899=\)
\(\displaystyle =-199-1100+9899=8600\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 8600\small.\)