Кубик подбрасывают один раз. Если выпало четное число, Вы выигрываете \(\displaystyle 5₿\small.\) Если выпало нечётное, Вы проигрываете \(\displaystyle 3₿\small.\)
Пусть \(\displaystyle X\) – величина выигрыша в биткоинах. Найдите дисперсию выигрыша.
Составим для случайной величины \(\displaystyle X\) таблицу распределения.
При этом:
- \(\displaystyle X\) при выигрыше принимает значение \(\displaystyle 5 { \small ;}\)
- \(\displaystyle X\) при проигрыше принимает значение \(\displaystyle -3 { \small ;}\)
- вероятность выпадения чётного и нечётного числа про броске кубика равна \(\displaystyle \frac{1}{2} { \small .}\)
Тогда получаем:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle -3\) |
| \(\displaystyle P(X=x)\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) |
Следовательно, математическое ожидание выигрыша равно
\(\displaystyle E(X)=5\cdot \frac{1}{2}+(-3)\cdot \frac{1}{2}=1\) биткоин.
Дисперсией дискретной случайной величины \(\displaystyle X\) называется
\(\displaystyle D(X)=(x_1-E(X))^2\cdot p_1+(x_2-E(X))^2\cdot p_2+\ldots+ (x_n-E(X))^2\cdot p_n\small.\)
Зная математическое ожидание, найдем квадраты отклонений:
| Значение \(\displaystyle X\) \(\displaystyle (x)\) | Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-E(X))\) | Квадрат отклонения | Вероятность \(\displaystyle P(X=x)\) |
| \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 5-1=4\) | \(\displaystyle 4^2=16\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) |
| \(\displaystyle -3\) | \(\displaystyle -3-1=-4\) | \(\displaystyle (-4)^2=16\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) |
Складывая произведения значений в третьем и четвертом столбцах, найдем дисперсию выигрыша:
\(\displaystyle D(X)=16 \cdot\frac{1}{2}+16 \cdot\frac{1}{2}=16\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 16\small.\)