У азартной игры следующие правила:
- шестигранный кубик подбрасывают один раз;
- в зависимости от выпавших очков Вы получаете выигрыш.
Выигрыш в зависимости от результата броска указан ниже:
| Выпавшие очки | \(\displaystyle 1,\,2\) | \(\displaystyle 3,\,4,\,5\) | \(\displaystyle 6\) |
| Выигрыш | \(\displaystyle 6₿\) | \(\displaystyle 8₿\) | \(\displaystyle 12₿\) |
Пусть \(\displaystyle X\) – величина выигрыша в биткоинах. Найдите дисперсию выигрыша.
Составим для случайной величины \(\displaystyle X\) таблицу распределения.
При этом:
- \(\displaystyle X\) принимает значения \(\displaystyle 6{ \small ,}\,8{ \small ,}\,12 { \small ;}\)
- вероятность выигрыша \(\displaystyle 6₿\) равна \(\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{1}{3} { \small ;}\)
- вероятность выигрыша \(\displaystyle 8₿\) равна \(\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2} { \small ;}\)
- вероятность выигрыша \(\displaystyle 12₿\) равна \(\displaystyle \frac{1}{6} { \small .}\)
Получаем:
| Значение \(\displaystyle X\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 12\) |
| Вероятность | \(\displaystyle \frac{1}{3}\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) |
Следовательно, математическое ожидание выигрыша равно
\(\displaystyle E(X)=6\cdot \frac{1}{3}+8\cdot \frac{1}{2}+12\cdot \frac{1}{6}=2+4+2=8₿{\small .}\)
Дисперсией дискретной случайной величины \(\displaystyle X\) называется
\(\displaystyle D(X)=(x_1-E(X))^2\cdot p_1+(x_2-E(X))^2\cdot p_2+\ldots+ (x_n-E(X))^2\cdot p_n\small.\)
Зная математическое ожидание, найдем квадраты отклонений:
| Значение \(\displaystyle X\) \(\displaystyle (x)\) | Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-E(X))\) | Квадрат отклонения | Вероятность \(\displaystyle P(X=x)\) |
| \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 6-8=-2\) | \(\displaystyle (-2)^2=4\) | \(\displaystyle \frac{1}{3}\) |
| \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 8-8=0\) | \(\displaystyle 0^2=0\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) |
| \(\displaystyle 12\) | \(\displaystyle 12-8=4\) | \(\displaystyle 4^2=16\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) |
Складывая произведения значений в третьем и четвертых столбцах, найдем дисперсию выигрыша:
\(\displaystyle D(X)=4 \cdot\frac{1}{3}+0 \cdot\frac{1}{2} + 16 \cdot\frac{1}{6}=\frac{8+0+16}{6}=4\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 4\small.\)