Skip to main content

Теория: 15 Внешний угол треугольника (короткая версия)

Задание

На стороне \(\displaystyle AC\) треугольника \(\displaystyle ABC\) отмечена точка \(\displaystyle K\) так, что \(\displaystyle AK=BK{\small .}\)

В треугольнике \(\displaystyle BCK\) проведена биссектриса \(\displaystyle KL{\small .}\)

Дополните доказательство параллельности прямых \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle KL\) ссылками на подходящие утверждения.

\(\displaystyle 1{\small .}~~ \angle ABK=\angle BAK~~~\) Перетащите сюда правильный ответ

\(\displaystyle 2{\small .}~~\angle BKC=\angle ABK+\angle BAK=2\cdot\angle ABK~~~\) Перетащите сюда правильный ответ

\(\displaystyle 3{\small .}~~\angle BKL=\frac{\angle BKC}{2}=\frac{2\cdot\angle ABK}{2}=\angle ABK ~~~\) Перетащите сюда правильный ответ

\(\displaystyle 4{\small .}~~\angle ABK=\angle BKL ~~~{\Large\Rightarrow}~~~AB\parallel KL~~~\) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Обоснуем отдельно каждый пункт доказательства.

Углы \(\displaystyle ABK\) и \(\displaystyle BAK\) равны по свойству равнобедренного треугольника.

Треугольник \(\displaystyle ABK\) по условию равнобедренный, так как \(\displaystyle AK=BK{\small .}\) 

В равнобедренном треугольнике напротив равных сторон расположены равные углы.

Значит,

\(\displaystyle \angle ABK=\angle BAK{\small .}\) 

2. Во втором пункте доказательства применяется теорема о внешнем угле треугольника.

Угол \(\displaystyle BKC\) является внешним углом треугольника \(\displaystyle ABK{\small .}\)

Величина внешнего угла треугольника складывается из величин не смежных с ним углов треугольника.

Значит,

\(\displaystyle \angle BKC=\angle ABK+\angle BAK=2\cdot\angle ABK{\small .}\)

3. Третий пункт использует определение биссектрисы.

По условию \(\displaystyle KL~-\) биссектриса треугольника \(\displaystyle BCK{\small ,}\) то есть часть биссектрисы угла \(\displaystyle BKC{\small .}\)

Биссектриса угла \(\displaystyle -\) луч, выпущенный из его вершины и разбивающий его на два равных угла.

Значит,

\(\displaystyle \angle BKL=\frac{\angle BKC}{2}=\frac{2\cdot\angle ABK}{2}=\angle ABK{\small .}\)

4. В последнем пункте использован признак параллельности прямых.

Для доказательства параллельности прямых используются признаки параллельности.

В нашем случае обнаруживаем два равных накрест лежащих угла при пересечении прямых \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle KL\) секущей \(\displaystyle BK{\small .}\)

Если накрест лежащие углы при пересечении двух прямых секущей равны, то прямые параллельны.

Значит, 

\(\displaystyle \angle ABK=\angle BKL ~~~{\Large\Rightarrow}~~~AB\parallel KL\)

Ответ: