Один из углов прямоугольного треугольника в пять раз меньше другого.
Какова величина этого угла?
Выберите все возможные варианты ответа.
Обозначим величины острых углов треугольника через \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta{\small .}\) Для определённости искомым считаем угол величиной \(\displaystyle \alpha{\small .}\)
Прямой угол треугольника имеет наибольшую величину. Значит, есть две возможности для сформулированного условия:
- один из острых углов в пять раз меньше прямого;
- один из острых углов в пять раз меньше другого.
Рассмотрим обе возможности.
Этот вариант условия можно выразить в виде равенства:
\(\displaystyle 5\alpha=90\degree {\small .}\)
Выражая \(\displaystyle \alpha\) получаем один из возможных ответов:
\(\displaystyle \alpha=\frac{90\degree }{5}=\)\(\displaystyle 18\degree{\small .}\)
На всякий случай вычислим величину второго острого угла (в данной задачи это необязательное действие).
Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника составляет \(\displaystyle 90\degree {\small .}\)
Значит, \(\displaystyle \beta=90\degree -\alpha=90\degree -18\degree =72\degree {\small .}\)
Треугольник с углами \(\displaystyle 18\degree{\small ,\;}72\degree\) и \(\displaystyle 90\degree{ \small ,}\) очевидно, соответствует условиям задачи.
Этот вариант условия можно выразить в виде равенства:
\(\displaystyle 5\alpha=\beta{\small .}\)
Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника составляет \(\displaystyle 90\degree {\text :}\)
\(\displaystyle \alpha+\beta=90\degree {\small .}\)
Подставим в это равенство вместо \(\displaystyle \beta\) его выражение по условию через \(\displaystyle \alpha{\text :}\)
\(\displaystyle \alpha+5\alpha=90\degree {\small .}\)
Выражаем из полученного равенства величину искомого угла:
\(\displaystyle \alpha=\frac{90\degree}{6}=\)\(\displaystyle 15\degree {\small .}\)
При этом величина второго острого угла составит \(\displaystyle \beta=90\degree -\alpha=90\degree -15\degree =75\degree {\small .}\)
Треугольник с углами \(\displaystyle 15\degree{\small ,\;}75\degree\) и \(\displaystyle 90\degree\) тоже соответствует условиям задачи.
Ответ: величина искомого угла может принимать значения \(\displaystyle 15\degree \) и \(\displaystyle 18\degree {\small .}\)