Skip to main content

Теория: Комбинированные задачи. (короткая версия)

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC\)  на стороне \(\displaystyle BC\) выбрана точка \(\displaystyle D\) так, что \(\displaystyle BD:DC=1:2{\small.}\) Медиана \(\displaystyle CE\) пересекает отрезок \(\displaystyle AD\) в точке \(\displaystyle F{\small.}\) Какую часть площади треугольника \(\displaystyle ABC\) составляет площадь треугольника \(\displaystyle AEF{\small?}\)

\frac{1}{10}
Решение

\(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle D \in BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle BD:DC=1:2{\small;}\)
  • \(\displaystyle CE\) – медиана;
  • \(\displaystyle F\) – точка пересечения \(\displaystyle CE\) и \(\displaystyle AD{\small.}\)

Требуется найти отношение площадей треугольников \(\displaystyle AEF\) и \(\displaystyle ABC{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle ABC}}=\color{red}{\Large ?}\)

По рисунку видим:

  • треугольник \(\displaystyle AEF\) является частью треугольника \(\displaystyle ABD{\small;}\)
  • треугольник \(\displaystyle ABD\) является частью треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)

 

\(\displaystyle \color{red}{1)}\) Найдём какую часть площади треугольника \(\displaystyle ABC\) составляет площадь треугольника \(\displaystyle ABD{\small.}\)

Заметим, что у треугольников \(\displaystyle ABD\) и \(\displaystyle ABC\) общая высота \(\displaystyle \color{red}{h}{\small.}\)

По условию \(\displaystyle BD:DC=1:2{\small,}\) то есть

\(\displaystyle BD=a{\small,}\) \(\displaystyle DC=2a{\small.}\)

Точка \(\displaystyle D\) лежит на отрезке \(\displaystyle BC{\small,}\) значит,

\(\displaystyle BC=BD+DC=a+2a=3a{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \color{blue}{ S_{\triangle ABD} =\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABC}{\small.}}\)

 

\(\displaystyle \color{red}{2)}\) Найдём какую часть площади треугольника \(\displaystyle ABD\) составляет площадь треугольника \(\displaystyle AEF{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Параллельно медиане \(\displaystyle CE\) из точки \(\displaystyle D\) проведём отрезок \(\displaystyle DN{\small.}\)

По теореме Фалеса

\(\displaystyle \frac{BN}{NE}=\frac{BD}{DC}=\frac{1}{2}{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle BN=t{\small,}\) \(\displaystyle NE=2t{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle BE=BN+NE=t+2t=3t{\small.}\)

Так как точка \(\displaystyle E\) – середина отрезка \(\displaystyle AB{\small,}\) то \(\displaystyle AE=BE{\small.}\) Значит, \(\displaystyle AE=3t{\small.}\)

\(\displaystyle S_{\triangle AEF} =\frac{9}{25}\cdot S_{\triangle AND}{\small.}\)

\(\displaystyle S_{\triangle AND} =\frac{5}{6}\cdot S_{\triangle ABD}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \color{blue}{ S_{\triangle AEF} =\frac{3}{10}\cdot S_{\triangle ABD}{\small.}}\)

\(\displaystyle \color{red}{3)}\) Найдём какую часть площади треугольника \(\displaystyle ABC\) составляет площадь треугольника \(\displaystyle AEF{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle S_{\triangle ABD} =\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABC}{\small:}\\ \)

\(\displaystyle S_{\triangle AEF} =\frac{3}{10}\cdot S_{\triangle ABD}=\frac{3}{10}\cdot \frac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{1}{10}\cdot S_{\triangle ABC}{\small.}\)

 

Площадь треугольника \(\displaystyle AEF\) составляет \(\displaystyle \frac{1}{10}\) часть площади треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{10}{\small.}\)