Skip to main content

Теория: 05 Решение задач с помощью параллельного переноса (короткая версия)

Задание

Информация

Задача

Две окружности радиуса \(\displaystyle 5\) касаются в точке \(\displaystyle X\small.\) На первой окружности выбрали точку \(\displaystyle A\small,\) а на второй \(\displaystyle B\) так, что \(\displaystyle \angle AXB=90^{\circ}\small.\) Найдите длину отрезка \(\displaystyle AB\small.\)

Заполните пропуски в решении.

Информация

Решение

Рассмотрим параллельный перенос на вектор \(\displaystyle \overrightarrow{OE}\small.\) 

Точка касания окружностей лежит на линии центров.

Тогда точка \(\displaystyle X\) при этом параллельном переносе переходит в точку 


При параллельном переносе окружность переходит в окружность. Значит, \(\displaystyle A\) переходит в некоторую точку \(\displaystyle A_1\) на окружности с центром \(\displaystyle E\small.\)


Угол \(\displaystyle XA_1Y\) опирается на  окружности с центром \(\displaystyle E\small.\) Значит,

\(\displaystyle \angle XA_1Y=\)
90
\(\displaystyle ^{\circ}\)


Но при параллельном переносе прямая переходит в параллельную, то есть \(\displaystyle AX||A_1Y\small.\) Тогда

\(\displaystyle \angle AXA_1=\)
90
\(\displaystyle ^{\circ}\)

Значит, точка \(\displaystyle A_1\) и есть точка \(\displaystyle B\small.\)


Тогда

\(\displaystyle AB=\)
10

Решение

Рассмотрим параллельный перенос на вектор \(\displaystyle \overrightarrow{OE}\small.\) 

Точка касания окружностей лежит на линии центров.

Тогда точка \(\displaystyle X\) при этом параллельном переносе переходит в точку \(\displaystyle Y\small.\)


При параллельном переносе окружность переходит в окружность. Значит, \(\displaystyle A\) переходит в некоторую точку \(\displaystyle A_1\) на окружности с центром \(\displaystyle E\small.\)


Угол \(\displaystyle XA_1Y\) опирается на диаметр окружности с центром \(\displaystyle E\small.\) Значит,

\(\displaystyle \angle XA_1Y=90^{\circ}\small.\)


Но при параллельном переносе прямая переходит в параллельную, то есть \(\displaystyle AX||A_1Y\small.\)

Тогда накрест лежащие углы равны:

\(\displaystyle \angle AXA_1=90^{\circ}\small.\)

Значит, точка \(\displaystyle A_1\) и есть точка \(\displaystyle B\small.\)
 

Но \(\displaystyle A\) переходит в \(\displaystyle A_1\small,\) а значит в \(\displaystyle B\) при параллельном переносе на \(\displaystyle \overrightarrow{OE}\small.\) То есть \(\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OE}\small.\)

Длина вектора \(\displaystyle \overrightarrow{OE}\) равна удвоенному радиусу, тогда

\(\displaystyle AB=|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{OE}|=2R=10\small.\)