Из восьми точек \(\displaystyle A{\small ,\;}B{\small ,\;}C{\small ,\;}D{\small ,\;}E{\small ,\;}F{\small ,\;}G\) и \(\displaystyle H\) никакие три не принадлежат одной прямой.
Рассмотрим несколько незамкнутых ломаных с вершинами в этих точках.
Выберите из предложенных вариантов обозначения ломаных, длины которых меньше длины ломаной \(\displaystyle ADEFG{ \small ,}\) и тех, длины которых больше длины той же ломаной.
Если длина ломаной совпадает с длиной ломаной \(\displaystyle ADEFG\) или соотношение длин однозначно не устанавливается, не размещайте её ни в одном поле таблицы.
| Ломаные с длиной меньшей длины ломаной \(\displaystyle ADEFG\) | Ломаные с длиной большей длины ломаной \(\displaystyle ADEFG\) |
Для наглядности будем строить примеры рассматриваемых ломаных.
Выберем на плоскости восемь точек, которые обозначим буквами от \(\displaystyle A\) до \(\displaystyle H{\small .}\)
Сопоставим изображения ломаной \(\displaystyle ADEFG\) и каждой из ломаных, предложенных для сравнения длин.
Сумма длин всех звеньев незамкнутой ломаной (длина ломаной) больше расстояния между её концами.
На рисунке ломаная состоит из пяти звеньев, длины которых обозначены через \(\displaystyle a_1{\small ,\;}a_2{\small ,\;}a_3{\small ,\;}a_4\) и \(\displaystyle a_5{\small .}\) Расстояние между концами ломаной обозначено буквой \(\displaystyle d{\small .}\) Для суммы длин звеньев \(\displaystyle -\) длины ломаной \(\displaystyle -\)можно ввести обозначение \(\displaystyle l{\small .}\) Это позволяет выписать утверждение в виде неравенства:
\(\displaystyle l>d{\small ,}\)
или, расписывая длину ломаной,
\(\displaystyle a_1+a_2+a_3+a_4+a_5>d{\small .}\)
Это неравенство можно рассматривать и как обобщение правила треугольника, и как его следствие.
У двух ломаных есть общее звено \(\displaystyle FG{\small .}\)
\(\displaystyle ~~~~~~\)
Длина оставшегося звена \(\displaystyle AF\) ломаной \(\displaystyle AFG\) меньше суммы длин звеньев \(\displaystyle AD{\small ,\;}DE\) и \(\displaystyle EF\) ломаной \(\displaystyle ADEF\) по неравенству для длины ломаной.
Действительно, расстояние \(\displaystyle AF\) между концами ломаной \(\displaystyle ADEF\) должно быть меньше суммы длин её звеньев:
\(\displaystyle AF<AD+DE+EF{\small .}\)
Прибавив к обеим частям неравенства длину звена \(\displaystyle FG{\small ,}\) получим неравенство для длин ломаных \(\displaystyle AFG\) и \(\displaystyle ADEFG{\text :}\)
\(\displaystyle AF+FG<AD+DE+EF+FG{\small .}\)
\(\displaystyle ~~~~~~\)
\(\displaystyle ~~~~~~\)
\(\displaystyle ~~~~~~\)
\(\displaystyle ~~~~~~\)
| Ответ: |  |