В пятиугольнике \(\displaystyle ABCDE\) известны величины углов при двух вершинах:
\(\displaystyle \angle B=90\degree \) и \(\displaystyle \angle E=58\degree {\small .}\)
Стороны \(\displaystyle AE\) и \(\displaystyle DE\) равны. На диагонали \(\displaystyle AD\) отмечена точка \(\displaystyle M\) так, что \(\displaystyle CM=DM{\small .}\)
Для доказательства неравенства \(\displaystyle AB<AE\) сравнили три пары отрезков. Дополните три полученных неравенства и подберите им подходящие обоснования.
| НЕРАВЕНСТВО | ОБОСНОВАНИЕ |
| \(\displaystyle AB\)\(\displaystyle AC\) | |
| \(\displaystyle AD\)\(\displaystyle AC\) | |
| \(\displaystyle AD\)\(\displaystyle AE\) |
Последовательно сравним отрезки в трёх парах.
Отрезок \(\displaystyle AB\) является катетом, а отрезок \(\displaystyle AC~-\) гипотенузой прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
Воспользуемся одной из формулировок неравенства перпендикуляра и наклонной.
Катет прямоугольного треугольника короче его гипотенузы.
Значит, \(\displaystyle AB<AC{\small .}\)
Применяем неравенство треугольника к длинам сторон треугольника \(\displaystyle ACM{\small .}\)
Сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.
Получается, что длина ломаной \(\displaystyle AMC\) больше длины отрезка \(\displaystyle AC{\text :}\)
\(\displaystyle AM+MC>AC{\small .}\)
Но эта длина ломаной совпадает с длиной отрезка \(\displaystyle AD{\text :}\)
- звено \(\displaystyle AM\) совпадает с одной из частей, составляющих отрезок;
- звено \(\displaystyle MC\) равно второй части \(\displaystyle MD\) отрезка \(\displaystyle AD{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle AD>AC{\small .}\)
Рассмотрим равнобедренный треугольник \(\displaystyle ADE{\small .}\)
Известна величина угла при вершине \(\displaystyle E{\text :}\)
\(\displaystyle \angle AED=58\degree {\small .}\)
Сумма величин трёх углов треугольника составляет \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)
Значит, сумму величин двух других углов треугольника \(\displaystyle ADE\) можно найти вычитанием:
\(\displaystyle \angle DAE+\angle ADE=180\degree -\angle AED=180\degree -58\degree =122\degree {\small .}\)
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Значит, величина каждого из двух углов равна половине найденной величины:
\(\displaystyle \angle DAE=\angle ADE=\frac{122\degree }{2}=61\degree {\small .}\)
Воспользуемся теоремой о соотношении сторон и углов треугольника.
В треугольнике меньшему углу противолежит меньшая сторона.
В нашем случае, величина угла \(\displaystyle AED\) меньше величины угла \(\displaystyle DAE{\small .}\)
Значит, сторона \(\displaystyle AD\) короче стороны \(\displaystyle AE {\text :}\)
\(\displaystyle AD<AE{\small .}\)
На всякий случай проверим, что полученные неравенства позволяют обосновать неравенство \(\displaystyle AB<AE{\small .}\)
Установлено, что отрезок \(\displaystyle AB\) короче отрезка \(\displaystyle AC{ \small ,}\) который короче отрезка \(\displaystyle AD{ \small ,}\) который короче отрезка \(\displaystyle AE{\text :}\)
\(\displaystyle AB<AC<AD<AE{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle AB<AE{\small .}\)
| Ответ: |  |